コンパクト台付きの函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/06 17:51 UTC 版)
函数 f が X にコンパクトな台を持つとは、f の台 supp(f) が X のコンパクト部分集合となることを言う。よくある状況として、適当な分離公理の下で、コンパクト集合の閉部分集合はまたコンパクトとなるから、この場合 f が X にコンパクト台を持つことと f が X のコンパクト部分集合に（位相的な意味での）台を持つこととは同値である。特に、コンパクト空間上の任意の連続函数はコンパクトな台を持つ。X が実数直線のときには、コンパクトな台を持つ函数とは即ち有界な台を持つ函数であり、従ってそのような函数は正負の無限遠点において消える（英語版）。 ユークリッド空間上で定義されたコンパクト台を持つ滑らかな実数値函数は、隆起函数と呼ばれる。軟化子は隆起函数の重要な特別の場合で、超函数論において、滑らかではない（超）函数を畳み込みを通して近似する滑らかな函数列を作るのに用いられる。 素性の良い（英語版）状況下であれば、コンパクト台付きの函数は無限遠で消える函数全体の成す空間において稠密に存在するのだが、この性質を先ほど与えた例に対して正当化するには、いくらか技巧的な議論を要する。より複雑な場合でも直観的には同じようなことだが、極限に関する言葉で言えば、任意の ε > 0 について、実数直線 R 上の無限遠点で消える任意の函数 f は、任意の x ∈ X に対して | f ( x ) − I C ( x ) f ( x ) | < ε {\displaystyle |f(x)-I_{C}(x)f(x)|<\varepsilon } となるような R を近似するコンパクト部分集合 C を選ぶことにより、コンパクト台付き函数で近似することができる。ただし、IC は C の指示函数。
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