コンパクト作用素の双対としてのトレースクラス
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 09:01 UTC 版)
「トレースクラス」の記事における「コンパクト作用素の双対としてのトレースクラス」の解説
c0 の双対空間は l1(N) である。同様に、コンパクト作用素の双対 K(H)* は、トレースクラス作用素 C1 であることが分かる。以下で記載する内容は、対応する数列空間に対する覚書である。f ∈ K(H)* とし、 ⟨ T f x , y ⟩ = f ( S x , y ) {\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f(S_{x,y})} として定義される作用素 Tf によって f を識別する。ここで、Sx,y は S x , y ( h ) = ⟨ h , y ⟩ x {\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x} で与えられるランク 1 の作用素である。 この識別が意味をなすことは、有限ランク作用素が K(H) においてノルム稠密であることに起因する。Tf が正作用素であるような場合には、任意の正規直交基底 ui に対して、 ∑ i ⟨ T f u i , u i ⟩ = f ( I ) ≤ ‖ f ‖ , {\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,} が成立する。ここで I は恒等作用素 I = ∑ i ⟨ ⋅ , u i ⟩ u i {\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}} である。しかしこのことは、Tf がトレースクラスであることを意味する。極分解（英語版）により、これはより一般的な、Tf が必ずしも正ではない場合に拡張される。 有限ランク作用素を介した極限の議論により、||Tf ||1 = || f || が得られる。したがって、K(H)* は C1 と等長同型である。
※この「コンパクト作用素の双対としてのトレースクラス」の解説は、「トレースクラス」の解説の一部です。
「コンパクト作用素の双対としてのトレースクラス」を含む「トレースクラス」の記事については、「トレースクラス」の概要を参照ください。
- コンパクト作用素の双対としてのトレースクラスのページへのリンク
