エネルギーバンド及び状態密度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/26 23:32 UTC 版)
「空格子近似」の記事における「エネルギーバンド及び状態密度」の解説
1次元格子では、エネルギー間のバンドを決定する逆格子ベクトル G n {\displaystyle \mathbf {G} _{n}} の数はエネルギーが上がると2に限られる。2次元及び3次元格子においては自由電子バンド E n ( k ) {\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )} を決定する逆格子ベクトルの数は波数ベクトルの長さやエネルギーが大きくなると、急速に増加する。これは区間 [ k , k + d k ] {\displaystyle [\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]} にある逆格子ベクトル G n {\displaystyle \mathbf {G} _{n}} の数が増えるからである。エネルギー間 [ E , E + d E ] {\displaystyle [E,E+dE]} における状態密度は、逆格子空間での [ k , k + d k ] {\displaystyle [\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]} における状態数と分散関係 E n ( k ) {\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )} の勾配による。 格子セルは球対称ではないが、分散関係が中心のブリルアンゾーンより外側に広がると、逆格子セル内の中心の定点から見ると球の対称性を持つ。3次元格子の状態密度は格子がない場合と同じである。3次元の場合、状態密度 D 3 ( E ) {\displaystyle D_{3}\left(E\right)} は D 3 ( E ) = 2 π E − E 0 c k 3 . {\displaystyle D_{3}\left(E\right)=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\ .} となる。3次元空間においてブリルアンゾーンの境界は平面である。分散関係は、全ての可能な逆格子ベクトルに対する自由電子のエネルギー分散の放物線による円錐曲線を示す。これにより、分散関係が計算される際に1次と高次ブリルアンゾーン境界、分散放物線の交差円錐、評価曲線の間に可能な角度が多数あるため、曲線の非常に複雑な交差の組み合わせになる。
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