ウエーブレット変換

デジタル大辞泉

ウエーブレット‐へんかん〔‐ヘンクワン〕【ウエーブレット変換】

読み方：うえーぶれっとへんかん

《wavelet transformation》ある信号について、時間変化の情報を損なうことなく周波数解析を行う手法。フーリエ変換で周期関数の重ね合わせを利用したように、ウエーブレットとよばれる小さい波を定義し、その波を拡大縮小・平行移動して重ね合わせることで元の信号の波形を再現する。フーリエ変換では得られなかった時間変化に関する局所的なふるまいを解析することができる。

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ウェーブレット変換

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/02 09:12 UTC 版)

ウェーブレット変換（ウェーブレットへんかん、英: wavelet transformation）は、周波数解析の手法の一つ。基底関数として、ウェーブレット関数を用いる。フーリエ変換によって周波数特性を求める際に失われる時間領域の情報を、この変換においては残すことが可能である。フーリエ変換でも窓関数を用いる窓フーリエ変換で時間領域の情報は残せたが、窓幅を周波数に合わせて固定する必要があるため、広い周波数領域の解析には向かなかった。ウェーブレット変換では、基底関数の拡大縮小を行うので、広い周波数領域の解析が可能である。しかし、不確定性原理によって精度には限界がある。フーリエ変換では、N をデータのサイズとしたときに N logN のオーダーで計算量が増える(O(N logN))が、ウェーブレット変換では O(N) の計算量でできる利点がある。

VP6、JPEG 2000、信号解析、量子力学、フラクタル等の多くの分野に応用されている。

基本概念

基本的には、小さい波（ウェーブレット）を拡大縮小、平行移動して足し合わせることで、与えられた入力の波形を表現しようとする手法。ある信号が与えられた時に、時間的に局在した周波数成分を知りたい場合でも、フーリエ解析においては、サイン波、コサイン波を拡大縮小して足し合わせることで入力を表現しようとしていたが、波が局在化していないため、時系列の情報が失われていた。

フーリエ変換の式 $({\mathfrak {F}}f)(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int dt\,e^{-i\omega t}f(t)$

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