これら算術の一貫性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 10:26 UTC 版)
さてこれらの四則は以下に述べる意味で「うまく行っている」(consistent): 加法および符号反転は、それぞれの帰納法において「より単純な」帰納ステップの加法および符号反転から再帰的に定義されているから、誕生日が n である数に対する演算は、結局は誕生日が n より小さい数に対する同じ演算によって全く言い表される。 乗法は、加法・符号反転と「より単純な」乗法のステップから再帰的に定義されているから、誕生日が n である数に対する演算は結局誕生日が n より小さな数から成す積の和や差として全く書き表されている。 被演算子が矛盾なく定義された超現実数形式（左集合の各元が右集合の各元より小さい）である限り、これら演算の結果はふたたび矛盾なく定義された数形式になる。 形式に対するこれら演算を超現実数（形式の同値類）に「拡張」できる。すなわち、超現実数 x を符号反転したり、超現実数の対 x, y を足したり掛けたりした結果は、x や y を表す形式の選び方とは無関係に、同じ超現実数を与える。 これら演算は、加法単位元 0 = { | } および乗法単位元 1 = {0 | } を伴って、体の定義における可換律・結合律・反数律および分配律の各公理に従う。 これらの規則を用いれば、最初のほうのいくつかの世代に対して、それが完全にラベル付けできているかどうかの確認ができる。構成規則を繰り返せば、超現実数の更なる世代についても同様である。 S0 = {0}. S1 = {−1 < 0 < 1}. S2 = {−2 < −1 < −1⁄2 < 0 < 1⁄2 < 1 < 2}. S3 = {−3 < −2 < −3⁄2 < −1 < −3⁄4 < −1⁄2 < −1⁄4 < 0 < 1⁄4 < 1⁄2 < 3⁄4 < 1 < 3⁄2 < 2 < 3}. S4 = {−4 < −3 < ⋯ < −1⁄8 < 0 < 1⁄8 < 1⁄4 < 3⁄8 < 1⁄2 < 5⁄8 < 3⁄4 < 7⁄8 < 1 < 5⁄4 < 3⁄2 < 7⁄4 < 2 < 5⁄2 < 3 < 4}.
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