−1 の平方根
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/15 05:35 UTC 版)
−1 の平方根は、複素数の範囲では ±i であるが、H では −1 の平方根は無数に存在する。x2 = −1 の四元数解は三次元空間内の単位球面を成すのである。これを見るのに q = a + bi + cj + dk を四元数とし、その平方が −1 に等しいものと仮定する。a, b, c, d が満たすべき条件は a 2 − b 2 − c 2 − d 2 = − 1 , {\displaystyle a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}=-1,} 2 a b = 0 , {\displaystyle 2ab=0,} 2 a c = 0 , {\displaystyle 2ac=0,} 2 a d = 0 {\displaystyle 2ad=0} である。後の3つの方程式より a = 0 または b = c = d = 0 であるが、後者は残りの方程式から a2 = −1 となり、a は実数であるから不可能である。故に a = 0 ⋀ b2 + c2 + d2 = 1 となる。即ち、平方が −1 になる四元数は、ノルムが 1 の純虚四元数であることが分かる。定義により、このような四元数全体の成す集合は2次単位球面である。 故に、負の実四元数は無数の平方根を持つことも分かるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ（0 についてはただ一つ）である。 H における −1 の平方根のこのような同定はハミルトンが与えているが、他の文献では触れられないことがよくある。1971年にサム・パーリスは −1 の平方根の成す球面について、米国数学教師評議会（英語版）出版の「代数学における歴史的話題」(Historical Topics in Algebra p.39) において3ページを割いて触れている。より近くでは、イアン・ポーティアス（英語版）の本「クリフォード代数と古典群」(Clifford Algebras and the Classical Groups Cambridge, 1995, proposition 8.13, p.60) にこの球面についての記述があり、また Conway & Smith (2003) のp.40には「任意の虚数単位を i, それに直交する虚数単位の一つを j, それらの積を k」("any imaginary unit may be called iTemplate:, and perpendicular one j, and their product k") として、この球面についての別な言明がある。
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