どのような体が順序付け可能であるか
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/09 00:18 UTC 版)
「順序体」の記事における「どのような体が順序付け可能であるか」の解説
任意の順序体は形式的に実である。すなわち 0 を非零元の平方和として書くことはできないという性質を持つ。逆に、任意の形式的に実な体（実体）は体構造と両立する順序を入れて順序体にすることができる（この順序は必ずしも一意には決まらない）。 有限体あるいはより一般に有限な標数を持つ体は順序体にすることはできない。これは、標数 p に対して、元 −1 が平方数 1 (= 12) の p − 1 個の和に書けることによる。また複素数体も順序体にならない。これは仮に順序体となるならば、−1 は平方数（もちろん、虚数単位 i の平方）ゆえ正でなければならないことによる。あるいは p-進数体も順序体にならない。実際、Q2 は −7 の平方根を含み、また奇素数 p に対する Qp は 1 − p の平方根を含む。
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