どのような行列が分散共分散行列となれるか
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:35 UTC 版)
「分散共分散行列」の記事における「どのような行列が分散共分散行列となれるか」の解説
すぐ上で使った次の等式と、 var ( a ⊤ X ) = a ⊤ var ( X ) a {\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {a^{\top }} \mathbf {X} )=\mathbf {a^{\top }} \operatorname {var} (\mathbf {X} )\mathbf {a} \,} 実数値を取る確率変数の分散は非負であるということから、すぐに半正定値行列だけが分散共分散行列になることができるということがわかる。さらに、任意の半正定値行列は分散共分散行列とみなすことができる。これを示すには、次のようにする。まず、M を p × p の半正定値対称行列とする。有限次元のスペクトル理論より、M は半正定値対称平方根行列 M1/2 を持つ。X を任意の p × 1 の確率変数の列ベクトルとし、その分散共分散行列が p × p の恒等行列だとする。すると var ( M 1 / 2 X ) = M 1 / 2 ( var ( X ) ) M 1 / 2 = M . {\displaystyle \operatorname {var} (M^{1/2}\mathbf {X} )=M^{1/2}(\operatorname {var} (\mathbf {X} ))M^{1/2}=M.\,}
※この「どのような行列が分散共分散行列となれるか」の解説は、「分散共分散行列」の解説の一部です。
「どのような行列が分散共分散行列となれるか」を含む「分散共分散行列」の記事については、「分散共分散行列」の概要を参照ください。
- どのような行列が分散共分散行列となれるかのページへのリンク
