結合法則 例

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結合法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/13 03:13 UTC 版)

例

結合的演算において $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$

実数の加法は結合的である。

結合的演算の例をいくつか挙げる:

• 文字列結合。3つの文字列 "a"、"b"、"c" を繋げる際、先の2つを繋いで "ab" を得てから、その末尾に3つめの "c" を繋ぐと、"abc" となる。一方で、後の2つを繋いで "bc" を得てから、その先頭に1つめの "a" を繋いでも、同じく "abc" となる。そのため、文字列結合は結合的である。なお、可換ではない。

• 複素数同士の加法。（複素数とは、実数と虚数の総称であり、いわゆる数。）グループ化を表す括弧は、曖昧さを生まずに除去できる。

$(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z$

• 複素数同士の乗法。グループ化を表す括弧は、曖昧さを生まずに除去できる。

$(xy)z=x(yz)=xyz$

• 右自明演算 $x*y=x$（必ず $x$ の値を返す）、および左自明演算 $x$ ∘ $y=y$（必ず $y$ の値を返す）。どちらも可換ではない。

• 複素数および四元数の加法および乗法。

• 八元数の加法。なお、乗法は結合的でない。

• 最大公約数をとる演算。

$\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {Z} )$

• 最小公倍数をとる演算。

$\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {Z} )$

• 集合の交叉および合併:
  $${\begin{array}{l}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\end{array}}\qquad (\forall A,B,C).$$

• 適当な集合 M に対する M 上の自己写像（写像 M → M）全体の成す集合 S ≔ M^Mについて、S 上で定義された合成演算 ∘ は結合的である:
  $$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad (\forall f,g,h\in S).$$

• 少し一般に、四つの集合 M, N, P, Q とそれらの間の写像 h: M → N, g: N → P, f: P → Q についてやはり
  $$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h$$
  が成り立つ。要するに写像の合成は常に結合的である。

• 三元集合 {A, B, C} に演算を以下の乗積表に従って定めたものは結合的である（かつ可換でない）:

×	A	B	C
A	A	A	A
B	A	B	C
C	A	A	A

• 通常の行列の積は結合的である。行列は線型写像を表現し、行列の積は線型写像の合成に対応するから、合成について既に見たことから行列の積の結合性は直ちに得られる。