結合法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/02/13 03:13 UTC 版)
同一式にて同じ結合的演算が複数回現れる場合、それらの演算を施す順番は、被演算子の順序を変えない限り、結果に影響しない。つまり、(必要ならば中置記法と括弧を使った式に書き換えて)括弧の位置を入れ替えても、式の値は変わらない。例えば、
を例にとると、各行とも左辺と中辺で括弧の位置が変わっている(そして被演算子の現れる位置は変わっていない)けれども、その値である右辺は変わりないことを述べている。このような関係式は、被演算子を任意の実数とする加法や乗法を計算する限りにおいて満足されるから、それを「実数の加法および乗法は結合的(演算)である」とか、「実数の加法および乗法は(実数全体の成す集合上で)結合法則を満足する」などと言い表す。
結合性は、「二つの被演算子の現れる位置を入れ替えても結果が変わらない」ことを意味する可換則とは異なる。例えば、実数の乗法が可換演算であるのは、実数の乗法において被演算子の順番を変えてもよいこと—つまり a × b = b × a—が満足されることによる。
結合的演算は数学において遍く存在する。事実として、多くの代数的構造(例えば半群や圏)では、それらの持つ二項演算が結合的であることを明示的に要請される。
とはいえ、重要で意義のある非結合的演算もたくさん存在する。例えば減法、冪演算、ベクトルの交叉積などはそうである。
注釈
出典
- ^ Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra (1st ed.). Springer. p. 24. ISBN 978-0387905181. "Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G."
- ^ Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: an Introduction (3rd ed.). New York: Wiley. p. 78. ISBN 978-0-471-51001-7 . "If are elements of a set with an associative operation, then the product is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product"
- ^ “Matrix product associativity”. Khan Academy. 2016年6月5日閲覧。
- ^ Moore and Parker[要文献特定詳細情報]
- ^ Copi and Cohen[要文献特定詳細情報]
- ^ Hurley[要文献特定詳細情報]
- ^ [1]
- ^ George Mark Bergman: Order of arithmetic operations
- ^ Education Place: The Order of Operations
- ^ Khan Academy: The Order of Operations, timestamp 5m40s
- ^ Virginia Department of Education: Using Order of Operations and Exploring Properties, section 9
- ^ Bronstein: de:Taschenbuch der Mathematik, pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3
- ^ Exponentiation Associativity and Standard Math Notation Codeplea. 23 Aug 2016. Retrieved 20 Sep 2016.
- ^ http://msdn.microsoft.com/en-us/library/vstudio/zh100ckf.aspx
結合法則と同じ種類の言葉
固有名詞の分類
- 結合法則のページへのリンク