位相空間

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/14 23:08 UTC 版)

その他の具体例

密着位相、離散位相、補有限位相、補可算位相

定義・定理 ― $X$ を集合とする。このとき以下は位相の公理を満たす。

空集合 $\emptyset$ と全体集合 $X$ のみを開集合とする位相を密着位相という。
$X$ の任意の部分集合を開集合とする位相を $X$ の離散位相という。
$X$ の任意の有限部分集合と全体集合を閉集合とする位相を $X$ の補有限位相という。
$X$ の任意の可算部分集合と全体集合を閉集合とする位相を $X$ の補可算位相（英語版）という。

密着位相と離散位相はいわば「両極端」の人工的な位相構造に過ぎないが、これらの位相構造は、位相に関する命題の反例として用いられる事がある。またこれらの位相構造は、任意の集合上に位相構造を定義できる事を意味している。

離散位相は $X$ 上に離散距離

d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

をいれたときに距離から定まる位相と一致する。

$X$ が1元集合、有限集合、可算集合の場合は明らかに密着位相、補有限位相、補可算位相はいずれも離散位相に一致する。それ以外の場合、すなわち $X$ が2元以上ある集合、無限集合、非可算集合の場合は、密着位相、補有限位相、補可算位相は $X$ 上のいかなる距離から定まる位相とも一致しない^{[注 3]}。

ザリスキー位相

$P=\{2,3,5,7,\ldots \}$ を素数の集合とする。各整数 $n\in \mathbb {Z}$ に対し、

V(n)=\{p\in P\mid n

は

p

の倍数

\}

と定義し、 $V (n)$ 全体の集合を閉集合系とする $P$ 上の位相を $P$ 上のザリスキー位相という。ザリスキー位相は $P$ 上のいかなる距離から定まる位相とも一致しないことが知られており^{[注 4]}、距離から定まらない位相でなおかつ数学の重要な研究対象となっているものの代表例である。ザリスキー位相の概念は一般の可換環 $R$ の素イデアル全体の集合に対しても定義する事ができる事が知られている。

一方、これとは全く異なる角度からザリスキー位相を定義する事ができる。 $K$ を複素数体（もしくはより一般に代数的閉体）とし、 $K n$ を考える。そして $K$ 上の多項式の任意の集合 $S$ に対し、

V(S)=\{x\in K^{n}\mid \forall f\in S~:~f(x)=0\}

と定義し、 $V (S)$ 全体の集合を閉集合系とする位相を $K n$ 上のザリスキー位相という。

以上で述べた２種類のザリスキー位相は一見全く異なるように見えるが、実は同種の概念を別の角度から見たものである事が知られている。これら２つが同種である事は代数幾何学の最も基本的な定理の一つとなっている。

加工により得られた位相空間

詳細は「位相空間#位相空間の導出」を参照

数学で使われる多くの位相空間は、距離空間（から定まる位相空間）のような既知の位相空間を加工して作られている。例えば既知の２つの位相空間の和集合や積集合に対して、位相を定めてこれらを位相空間とみなしたり、位相空間上で同値関係を考えてその同値関係による商集合に対して位相を定めて位相空間とみなしたりする。

こうした加工の結果として得られる位相空間の例として、非常に重要なものの一つが多様体である。多様体とは、直観的には $n$ 次元曲面のことであるが、これは $\mathbb {R} ^{n}$ の部分集合を何枚も張り合わせる事で実現されている。

既知の位相空間の和集合、積集合、商集合といったものにどのような位相を定めるべきかに関しては一般的な導出方法が知られており、これについては「#位相空間の導出」の節で説明する。

脚注

注釈

^ ^a ^b ただしここで言う「収束性」は点列の収束性ではなくより一般的な有向点族の収束性である。
^ ^a ^b ^c ℓ^pノルム $\|v\|_{p}$ 、L^pノルム $\|f\|_{p}$ 、に関連するノルムとして、ℓ^pノルム $\|v\|_{p}=\max _{i}|v_{i}|$ 、 L^∞ノルム、 $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|$ があり、これらは $\|v\|_{p}$ 、 $\|f\|_{p}$ で $p \to\infty$ としたものに一致する。同様にソボレフノルム $\|f\|_{k,p}$ で $p \to\infty$ としたノルム $\|f\|_{k,\infty }=\max _{\ell <k}\sup _{x\in [0,1]}|f^{(\ell )}(x)|$ も定義可能である。
^ 距離から定まる位相はハウスドルフ性と正規性を満たすが、密着位相はハウスドルフ性を満たさない。また補有限位相や補可算位相においては空でない任意の開集合の閉包は全体集合であるため、任意 $x, y \in X$ の任意の閉近傍は全体集合になってしまう為正規性を満たさない。
^ ザリスキー位相はハウスドルフ性を満たさないから。
^ より厳密に言うと、有向集合 $(Λ,\leq)$ と、 $Λ$ から $X$ への写像 $x : Λ \to X$ の組の事を $Λ$ を添字集合とする有向点族と呼ぶ