位相空間 位相の比較、生成

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位相空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/14 23:08 UTC 版)

位相の比較、生成

位相同士の比較

定義 (位相の比較) ―  集合X 上で定義された2つの位相空間$(X,{\mathcal {O}}_{1})$、$(X,{\mathcal {O}}_{2})$を考える。

${\mathcal {O}}_{1}\subset {\mathcal {O}}_{2}$

が満たされるとき、${\mathcal {O}}_{1}$は${\mathcal {O}}_{2}$よりも弱い（英: weak）といい、 ${\mathcal {O}}_{2}$は${\mathcal {O}}_{1}$より強い（英: strong）という。

これはすなわち、$(X,{\mathcal {O}}_{1})$の開集合は必ず$(X,{\mathcal {O}}_{2})$の開集合である事を意味する。 弱い/強いのかわりに粗い/細かい(英: coarse/fine)、小さい/大きい(英: small/large)という言葉を使うこともある。

${\mathcal {O}}_{1}$が${\mathcal {O}}_{2}$よりも粗い必要十分条件は、恒等写像

$\operatorname {id} ~:~(X,{\mathcal {O}}_{2})\to (X,{\mathcal {O}}_{1}),\ \ x\mapsto x$

が連続な事である。したがって${\mathcal {O}}_{1}$で収束する有向点族は${\mathcal {O}}_{2}$でも収束するが、逆は必ずしも成立しない。

位相の生成

本節ではXのべき集合${\mathfrak {P}}(X)$の任意の部分集合${\mathcal {S}}$から作る方法を述べる。

定義・定理 (位相の生成、準開基) ―  Xを集合とし、${\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)$を任意の集合族とする。このとき、X上の位相${\mathcal {O}}$

${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {O}}$

を満たすものの中で最も弱いもの${\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}$が存在する。この${\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}$を、${\mathcal {S}}$を含む最弱の位相（英: weakest topology）といい、${\mathcal {S}}$は${\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}$を生成する（英: generate）という。

また位相空間$(X,{\mathcal {O}})$において、${\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)$が${\mathcal {O}}$を生成するとき、${\mathcal {S}}$を${\mathcal {O}}$の準開基（じゅんかいき, 英: open subbase）という。

以上で我々は、準開基の抽象的な定義を与えたが、準開基の概念をより具体的な形で与えることもできる。そのための準備として、まず準開基の関連概念である開基について述べる。

定義 (開基) ―  $(X,{\mathcal {O}})$を位相空間とし、${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {O}}$とする。

以下が満たされるとき、${\mathcal {B}}$は${\mathcal {O}}$の開基（かいき, 英: open base、open basis）であるという。

任意の開集合(≠$\emptyset$)は${\mathcal {B}}$の元の(有限個または無限個の)和集合として書き表せる。すなわち
$\forall O\in {\mathcal {O}}\exists {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {B}}~:O=~\cup _{B\in {\mathcal {T}}}B$

開基の概念を用いると準開基を具体的に書き表す事ができ、${\mathcal {S}}$ が $(X,{\mathcal {O}})$の準開基である必要十分条件は、${\mathcal {S}}$ の元の有限個の共通部分の全体の集合

${\mathcal {B}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}\,{\bigg |}\,n\in \mathbb {N} ,\,S_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}$

が、${\mathcal {O}}$の開基をなすことである。 ${\mathcal {O}}$の開集合は開基の和集合で書き表せるので、以上の事から${\mathcal {O}}$の開集合は準開基の有限積集合の（有限または無限）和集合として書き表せる。

開基の概念は、基本近傍系の概念と以下のような関係がある：

命題 (開基と基本近傍系の関係) ―  位相空間$(X,{\mathcal {O}})$の各点xに対し、開集合からなる基本近傍系${\mathcal {N}}_{x}$が定義されているとき、

$\bigcup _{x\in X}{\mathcal {N}}_{x}$

は${\mathcal {O}}$の開基である。また${\mathcal {B}}$を${\mathcal {O}}$の開基とすると、

${\mathcal {N}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}\mid x\in B\}$

はxの基本近傍系である。

Xが距離空間の場合はxのε-近傍$B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}$がxの基本近傍系をなしていたので、$\{B_{\varepsilon }(x)\mid x\in X,\varepsilon >0\}$は開基をなす。

最後に、開基の概念で位相空間を特徴づける方法を述べる：

定理 (開基による位相の特徴づけ) ―  Xを集合とする。このとき、${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)$が何らかの位相の開集合系の開基である必要十分条件は、以下の条件を満たすことである：

$\forall B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}},\forall x\in B_{1}\cap B_{2}\exists B\in {\mathcal {B}}~:~x\in B\subset B_{1}\cap B_{2}$

位相全体のなす順序

弱い/強いを位相の間の順序関係とみなすと、X上の位相の集合

$\{{\mathcal {O}}\mid (X,{\mathcal {O}})$は位相空間$\}$

は順序集合になる。 この順序集合は完備束であり、

$\sup _{\lambda \in \Lambda }({\mathcal {O}}_{\lambda })=(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {O}}_{\lambda }$が生成する位相)

$\inf _{\lambda \in \Lambda }({\mathcal {O}}_{\lambda })=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {O}}_{\lambda }$

である。最も弱い位相は密着位相、最も強い位相は離散位相である。