位相空間

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/14 23:08 UTC 版)

近傍

本節では近傍の定義を述べ、その基本的な性質を述べる。後述するように近傍は位相空間における収束の概念を定義するのに用いられるが、それ以外にもある点 $x$ の周りの局所的な性質を記述する際に広く使われている。

定義

近傍の定義は以下のとおりである：

定義 (近傍系、開近傍系) ― $(X,{\mathcal {O}})$ を位相空間とし、 $x$ を $X$ の点とする。このとき、

x \in O

を満たす開集合を $x$ の開近傍（かいきんぼう, 英: open neighborhood）という。また $X$ の部分集合 $N$ が以下を満たすとき、 $N$ は $x$ の近傍（きんぼう, 英: neighborhood）であるという^[5]

ある開集合

O \subset X

が存在し、

x \in O \subset N

点 $x$ の近傍全体の集合を $x$ の近傍系といい^[5]、 $x$ の開近傍全体の集合を $x$ の開近傍系という。

近傍系のことを近傍フィルター（英: neighborhood filter）ともいう。

基本近傍系

点 $x$ の近傍 $N$ は $x \in O \subset N$ を満たし、距離空間における開集合 $O$ は $B_{\varepsilon }(x)\subset O$ を満たす。したがって以下のように基本近傍系の概念を定義すると、距離空間においては $\{B_{\varepsilon }(x)\mid \varepsilon >0\}$ が基本近傍系になっている事がわかる。また一般の位相空間でも開近傍全体の集合が基本近傍系になる事がわかる。

定義 (基本近傍系) ― $(X,{\mathcal {O}})$ を位相空間とし、 $x$ を $X$ の点とし、 ${\mathcal {N}}_{x}$ を $x$ の近傍系とする。 ${\mathcal {N}}_{x}$ の部分集合 ${\mathcal {B}}_{x}$ が以下を満たすとき、 ${\mathcal {B}}_{x}$ を $x$ における基本近傍系という^[6]：

任意の近傍

N\in {\mathcal {N}}_{x}

に対し、ある

B\in {\mathcal {B}}_{x}

が存在し、

x \in B \subset N

近傍概念は収束など $x$ の局所的な振る舞いを記述する際に用いられるので、多くの場合全ての近傍を考える代わりに、基本近傍系のみを考えれば十分である。例えば次が成立する：

命題 ― 　 ${\mathcal {B}}_{x}$ を位相空間 $(X,{\mathcal {O}})$ の点 $x$ における基本近傍系とする。このとき、

$x \in X$ が $A$ の内点 ⇔ $\exists N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~N\subset A$
$x \in X$ が $A$ の外点 ⇔ $\exists N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~N\subset A^{c}$
$x \in X$ が $A$ の境界点 ⇔ $\forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~A\cup N\neq \emptyset$ かつ $A^{c}\cup N\neq \emptyset$
$x \in X$ が $A$ の触点 ⇔ $\forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~A\cap N\neq \emptyset$
$x \in X$ が $A$ の集積点 ⇔ $\forall N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~$ $N$ は $x$ 以外に $A$ の元を含む。

距離空間においては点 $x$ の $ε$ -近傍全体が基本近傍系をなすので、上記の定理より、距離空間においては内点、外点といった概念は $ε$ -近傍を用いて定義可能である。教科書によっては、この $ε$ -近傍を用いた定義を距離空間における内点、外点等の定義として採用しているものもある。

近傍系の性質

近傍系は以下の性質を満たす：

定義 (ハウスドルフの公理系^[5]) ― 点 $x$ の近傍系を ${\mathcal {N}}_{x}$ で表すとき、 $X$ の任意の部分集合 $N$ 、 $N'$ 、 $M$ に対して以下が成立する。

$N,N'\in {\mathcal {N}}_{x}\Rightarrow N\cap N'\in {\mathcal {N}}_{x}$
$N\in {\mathcal {N}}_{x},~M\supset N\Rightarrow M\in {\mathcal {N}}_{x}$
$N\in {\mathcal {N}}_{x}$ であれば、ある $L\in {\mathcal {N}}_{x}$ が存在し全ての $y\in L$ に対して $N\in {\mathcal {N}}_{y}$

ハウスドルフの公理系を満たす近傍系は位相を特徴づける：

定理 (近傍系による位相の特徴づけ) ― $X$ を集合とし、 $X$ の元に $X$ の冪集合の冪集合の元を対応させる写像

{\mathcal {N}}\colon X\to {\mathfrak {P}}({\mathfrak {P}}(X)),~x\mapsto {\mathcal {N}}_{x}

がハウスドルフの公理系を満たしたとする。このとき $X$ 上の位相構造 ${\mathcal {O}}$ で位相空間 $(X,{\mathcal {O}})$ の各点 $x$ の近傍が ${\mathcal {N}}_{x}$ に一致するものがただ一つ存在する^[5]。 ${\mathcal {O}}$ は具体的には以下のように書ける：

{\mathcal {O}}=\{O\subset X\mid \forall x\in O~:~O\in {\mathcal {N}}_{x}\}

脚注

注釈

^ ^a ^b ただしここで言う「収束性」は点列の収束性ではなくより一般的な有向点族の収束性である。
^ ^a ^b ^c ℓ^pノルム $\|v\|_{p}$ 、L^pノルム $\|f\|_{p}$ 、に関連するノルムとして、ℓ^pノルム $\|v\|_{p}=\max _{i}|v_{i}|$ 、 L^∞ノルム、 $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|$ があり、これらは $\|v\|_{p}$ 、 $\|f\|_{p}$ で $p \to\infty$ としたものに一致する。同様にソボレフノルム $\|f\|_{k,p}$ で $p \to\infty$ としたノルム $\|f\|_{k,\infty }=\max _{\ell <k}\sup _{x\in [0,1]}|f^{(\ell )}(x)|$ も定義可能である。
^ 距離から定まる位相はハウスドルフ性と正規性を満たすが、密着位相はハウスドルフ性を満たさない。また補有限位相や補可算位相においては空でない任意の開集合の閉包は全体集合であるため、任意 $x, y \in X$ の任意の閉近傍は全体集合になってしまう為正規性を満たさない。
^ ザリスキー位相はハウスドルフ性を満たさないから。
^ より厳密に言うと、有向集合 $(Λ,\leq)$ と、 $Λ$ から $X$ への写像 $x : Λ \to X$ の組の事を $Λ$ を添字集合とする有向点族と呼ぶ