位相空間

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/14 23:08 UTC 版)

収束

本節の目標は、位相空間上での収束概念を定義し、収束概念によってこれまで述べてきた様々な概念を捉え直す事にある。位相空間における収束概念は、距離空間における点列の収束概念を適切に修正する事により得られる：

定義 (距離空間における点列の収束) ― $(X,d)$

相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍

定理・定義 (ハウスドルフ性) ― 位相空間 $(X,{\mathcal {O}})$ において、下記の２つの性質は同値である。これらの性質の１つ（したがって両方を満たす事）をハウスドルフ性もしくはハウスドルフの分離公理といい、ハウスドルフ性が成り立つ位相空間をハウスドルフ空間もしくはT₂-空間という^[12]。

$X$ 上の任意の有向点族 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ に対し、 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ が収束すればその収束先は一意である。
$X$ 上の任意の2点 $x$ 、 $y$ に対し、 $x$ の開近傍 $U$ と、 $y$ の開近傍 $V$ が存在し $U \cap V' =\emptyset$

なお、ハウスドルフ性は数ある「分離公理」の一つであり、「T₂-空間」という名称も「T₁-空間」や「T₃-空間」といった他の分離公理と区別するための名称である。詳細は本項の分離公理の説明や分離公理の項目を参照されたい。

収束による諸概念の再定式化

有向点族の収束概念を用いると、閉包の概念を収束によって捉え直す事ができるようになる：

定理 (有向点族による特徴づけ) ― $A$ を位相空間 $X$ の任意の部分集合とき、以下が成立する：

$A$ は閉集合である⇔ $A$ 上の有向点族 $(x λ) λ\inΛ$ で $a \in X$ に収束するものがあれば、 $a \in A$ である^[13]。
点 $a$ が $A$ の閉包に含まれる⇔ $A$ 上のある有向点族 $(x λ) λ\inΛ$ が存在し、 $(x λ) λ\inΛ$ は $a$ に収束する^[13]。
点 $a$ が $A$ の集積点である⇔ $A\setminus \{a\}$ 上のある有向点族 $(x λ) λ\inΛ$ が存在し、 $(x λ) λ\inΛ$ は $a$ に収束する^[13]。

上の定理の閉集合に関する部分は以下のように非常に簡単に示せる。他のものの証明も同様である：

証明

（⇒） $a\in {\bar {A}}$ である事は以下と同値である：

a の任意の近傍U に対し、

U\cap A\neq \emptyset

...(1)

これはU ∩ A に少なくとも一つ元が存在する事を意味するので、そのような元をx _U とすると $x_{U}\in U\cap A\subset A$ である事から $(x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}$ はA 上にある。しかも前節で述べたように $(x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}$ は有向点族でありしかもa に収束する。

（ $\Leftarrow$ ）逆にa に収束するA 上の有向点族(x_λ)_λ∈Λがあったとすれば、収束性の定義からa の任意の近傍U 内に有向点族の点x_λが存在する。しかも仮定からx_λ ∈ A でもあったので、これは(1)が成立する事を意味し、したがって $a\in {\bar {A}}$ である。

距離空間では、点列の収束概念を用いて閉包や閉集合を同様にして特徴づけができる事が知られており、上記の２つの定理はこの特徴づけを一般の位相空間に拡張したものである。しかし一般の位相空間の場合、上記2定理で述べられているように、距離空間と違い「点列」ではなく「有向点族」で特徴づける必要がある。

なぜなら点列の添字が全順序な可算集合であるという制約が原因で、一般の位相空間の性質を記述するには不足であり、点列の概念で閉集合や開集合を特徴づけるには位相空間の方にも可算性に関する条件を満たす必要があるからである。詳細は列型空間を参照されたい。

二重極限の定理

次に有向点族の二重極限に関する定理を紹介する。後述するように、この定理は有向点族の極限で位相を特徴づける際に役立つ。定理を記述するため、まず有向集合の直積に有向集合構造が入る事を見る：

命題・定義 (有向集合の直積) ― $(Γ λ) λ \in Γ$ を有向集合の族とするとき、 $(Γ λ) λ \in Γ$ の集合としての直積 ${\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$ に

(\gamma _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\geq (\xi _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }~:\iff \forall \lambda \in \Lambda ~:~\gamma _{\lambda }\geq \xi _{\lambda }

という順序を入れると、 ${\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$ は有向集合になる。この順序をいれた ${\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$ を $(Γ λ) λ \in Γ$ の有向集合としての直積という。

定理 (二重極限の定理（英: Theorem on Iterated limit^[14]）) ― $Λ$ を有向集合とし、各 $λ \in Λ$ に対し、 $Γ λ$ を有向集合とし、 $(X,{\mathcal {O}})$ を位相空間とする。各 $λ \in Λ$ に対し、有向集合 $Γ λ$ を添え字とする $X$ 上の有向点族 $x_{\lambda }=(x_{\lambda ,\gamma })_{\gamma \in \Gamma _{\lambda }}$ が、 $y λ$ に収束するとし、さらに有向点族 $(y_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ が $z$ に収束するものとする。

$(Γ λ) λ \in Λ$ の直積を $\Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$ とし、有向点族 $(w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }=(x_{\lambda ,\xi _{\lambda }})_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }$ を考える（ただし $\xi =(\xi _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\in \Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }$ と定める）。

このとき $(w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }$ は $z$ に収束する^[14]^[15]。

極限による位相の特徴づけ

最後に有向点族による極限概念によって位相が特徴づけられる事を見る：

定理 (極限による位相の特徴づけ^[16]^[15]) ― $X$ を集合とし、 ${\mathcal {C}}$ を $X$ 上の有向点族と $X$ の点の組からなるクラスとする。

$((x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda },y)\in {\mathcal {C}}$ であるとき $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ が $y$ に ${\mathcal {C}}$ -収束するという事にするとき、以下が成立するとする：

$x λ$ が恒等的に $y$ に等しければ、 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ は $y$ に ${\mathcal {C}}$ -収束する
$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ が $y$ に ${\mathcal {C}}$ -収束するとき、 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ の任意の部分有向点族も $y$ に ${\mathcal {C}}$ -収束する
$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ が $y$ に ${\mathcal {C}}$ -収束しないとき、 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ の部分有向点族 $(x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }$ で $(x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }$ のいかなる部分有向点族も $y$ に ${\mathcal {C}}$ -収束しないものが存在する。
二重極限の定理で「収束」を「 ${\mathcal {C}}$ -収束」に置き換えたものを満たす。

このとき $X$ 上の位相構造 ${\mathcal {O}}$ で $(X,{\mathcal {O}})$ における有向点族の収束が ${\mathcal {C}}$ -収束に一致するものが唯一存在する。 ${\mathcal {O}}$ における閉包作用素は具体的には以下のように書ける：

{\bar {A}}={\Bigg \{}y\in X~{\Bigg |}~\exists (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subset A~:~(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }

は

y

に

{\mathcal {C}}

-収束する

{\Bigg \}}

脚注

注釈

^ ^a ^b ただしここで言う「収束性」は点列の収束性ではなくより一般的な有向点族の収束性である。
^ ^a ^b ^c ℓ^pノルム $\|v\|_{p}$ 、L^pノルム $\|f\|_{p}$ 、に関連するノルムとして、ℓ^pノルム $\|v\|_{p}=\max _{i}|v_{i}|$ 、 L^∞ノルム、 $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|$ があり、これらは $\|v\|_{p}$ 、 $\|f\|_{p}$ で $p \to\infty$ としたものに一致する。同様にソボレフノルム $\|f\|_{k,p}$ で $p \to\infty$ としたノルム $\|f\|_{k,\infty }=\max _{\ell <k}\sup _{x\in [0,1]}|f^{(\ell )}(x)|$ も定義可能である。
^ 距離から定まる位相はハウスドルフ性と正規性を満たすが、密着位相はハウスドルフ性を満たさない。また補有限位相や補可算位相においては空でない任意の開集合の閉包は全体集合であるため、任意 $x, y \in X$ の任意の閉近傍は全体集合になってしまう為正規性を満たさない。
^ ザリスキー位相はハウスドルフ性を満たさないから。
^ より厳密に言うと、有向集合 $(Λ,\leq)$ と、 $Λ$ から $X$ への写像 $x : Λ \to X$ の組の事を $Λ$ を添字集合とする有向点族と呼ぶ