球面座標系
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球面座標系（きゅうめんざひょうけい、英語: spherical coordinate system）とは、3次元ユークリッド空間に定まる座標系の一つで、動径座標と二つの角度座標で表される極座標系である。第一の角度はある軸（通常は z-軸を選ぶ）と動径がなす角度で、第二の角度は、その軸に垂直な平面にある別の軸（通常は x-軸を選ぶ）とこの平面への動径の射影がなす角度である。通常の座標の選び方は z-軸を鉛直上向きに選ばれるので、第一の角度は天頂からの角度であり、天頂角と呼ばれる。第二の角度座標は鉛直軸と直交する水平面内の角度であり方位角と呼ばれる。通常は動径座標に記号 r を用い、天頂角には θ を、方位角には φ を用いて表される。動径座標は 0 ≤ r < ∞ の範囲にあり、天頂角は 0 ≤ θ ≤ π の範囲にある。方位角の動く範囲は −π < φ ≤ π もしくは 0 ≤ φ < 2π のどちらかを用いることが多い。
座標変換
球面座標 (r,θ,φ) から直交直線座標 (x,y,z) への変換は
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球座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:21 UTC 版)
球座標は、直交座標への座標変換 (x, y, z) = f (r, θ, φ) = (r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ) を与えるから、ヤコビアンは | J f | = | sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ − r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ − r sin θ 0 | = r 2 sin θ {\displaystyle |J_{f}|={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \phi &r\cos \theta \cos \phi &-r\sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &r\cos \theta \sin \phi &r\sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=r^{2}\sin \theta } となる。従って、特異点は r = 0 または sin θ = 0 となる点、即ち (0, θ, φ) と (r, 0, φ), (r, π, φ) である。これは直交座標での (0, 0, 0), (0, 0, r), (0, 0, −r) すなわち z–軸を表す。
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