球座標における直接積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 06:24 UTC 版)
「超球の体積」の記事における「球座標における直接積分」の解説
体積を球座標における体積要素の積分によって計算することができる。球面座標系は動径座標 r と偏角座標 φ1, …, φn−1 を持つ。ここで φn−1 を除く各 φi の変域は [0, π) であり、φn−1 の変域は [0, 2π) である。球体積要素は d V = r n − 1 sin n − 2 ( ϕ 1 ) sin n − 3 ( ϕ 2 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) d r d ϕ 1 d ϕ 2 ⋯ d ϕ n − 1 {\displaystyle dV=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}} で与えられる。そして求める体積は、r は 0 から R までと、角は取りうるすべての値に亘って取った積分 V n ( R ) = ∫ 0 R ∫ 0 π ⋯ ∫ 0 2 π r n − 1 sin n − 2 ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) d ϕ n − 1 ⋯ d ϕ 1 d r {\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{R}\int _{0}^{\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{n-1}\cdots d\phi _{1}\,dr} に等しい。被積分関数の各因子は一変数のみに依存するため、従ってこの逐次積分は積分の積 V n ( R ) = ( ∫ 0 R r n − 1 d r ) ( ∫ 0 π sin n − 2 ( ϕ 1 ) d ϕ 1 ) ⋯ ( ∫ 0 2 π d ϕ n − 1 ) {\displaystyle V_{n}(R)={\bigg (}\int _{0}^{R}r^{n-1}\,dr{\bigg )}{\bigg (}\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\phi _{1})\,d\phi _{1}{\bigg )}\cdots {\bigg (}\int _{0}^{2\pi }d\phi _{n-1}{\bigg )}} として書くことができる。動径成分の積分は Rn/n に等しく、また偏角成分の積分区間を対称性により [0, π/2] と書き換えれば V n ( R ) = R n n ( 2 ∫ 0 π / 2 sin n − 2 ( ϕ 1 ) d ϕ 1 ) ⋯ ( 4 ∫ 0 π / 2 d ϕ n − 1 ) {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}{\bigg (}2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\,d\phi _{1}{\bigg )}\dotsb {\bigg (}4\int _{0}^{\pi /2}d\phi _{n-1}{\bigg )}} を得る。残った各々の積分はいまやベータ関数の特定の値で、 V n ( R ) = R n n B ( n − 1 2 , 1 2 ) B ( n − 2 2 , 1 2 ) ⋯ B ( 2 2 , 1 2 ) ⋅ 2 B ( 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\mathrm {B} ({\tfrac {n-1}{2}},{\tfrac {1}{2}})\mathrm {B} ({\tfrac {n-2}{2}},{\tfrac {1}{2}})\dotsb \mathrm {B} ({\tfrac {2}{2}},{\tfrac {1}{2}})\cdot 2\mathrm {B} ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})} となる。ベータ関数はガンマ関数に書き換えることができ、 V n ( R ) = R n n Γ ( n − 1 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( n 2 ) Γ ( n − 2 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( n − 1 2 ) ⋯ Γ ( 2 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( 3 2 ) ⋅ 2 Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( 2 2 ) {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}{\frac {\Gamma ({\frac {n-2}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}}\cdots {\frac {\Gamma ({\frac {2}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}\cdot 2{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {2}{2}})}}} を得るが、この積は連鎖的に約分して畳み込める。値 Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1 関数等式 zΓ(z) = Γ(z + 1) を組み合わせて V n ( R ) = 2 π n / 2 R n n Γ ( n 2 ) = π n / 2 R n Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi ^{n/2}R^{n}}{n\Gamma ({\frac {n}{2}})}}={\frac {\pi ^{n/2}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}} が導かれる。
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