球座標の例とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

球座標の例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:52 UTC 版)

球座標におけるハミルトニアンは以下のように書かれる。 H = 1 2 m [ p r 2 + p θ 2 r 2 + p ϕ 2 r 2 sin 2 ⁡ θ ] + U ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi )} ハミルトン–ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、 U {\displaystyle U} が同じような以下の形式を持つ場合である。 U ( r , θ , ϕ ) = U r ( r ) + U θ ( θ ) r 2 + U ϕ ( ϕ ) r 2 sin 2 ⁡ θ . {\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.} ここで U r ( r ) {\displaystyle U_{r}(r)} , U θ ( θ ) {\displaystyle U_{\theta }(\theta )} , U ϕ ( ϕ ) {\displaystyle U_{\phi }(\phi )} は任意の関数とする。完全に分離された解 S = S r ( r ) + S θ ( θ ) + S ϕ ( ϕ ) − E t {\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et} をハミルトン–ヤコビ方程式に代入すると以下が得られる。 1 2 m ( d S r d r ) 2 + U r ( r ) + 1 2 m r 2 [ ( d S θ d θ ) 2 + 2 m U θ ( θ ) ] + 1 2 m r 2 sin 2 ⁡ θ [ ( d S ϕ d ϕ ) 2 + 2 m U ϕ ( ϕ ) ] = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E} この式は常微分方程式の積分によって解け、最初に ϕ {\displaystyle \phi } に関する方程式は以下のようになる。 ( d S ϕ d ϕ ) 2 + 2 m U ϕ ( ϕ ) = Γ ϕ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }} ただし Γ ϕ {\displaystyle \Gamma _{\phi }} は運動の定数で、ハミルトン–ヤコビ方程式の ϕ {\displaystyle \phi } 依存性は以下のように消去された。 1 2 m ( d S r d r ) 2 + U r ( r ) + 1 2 m r 2 [ ( d S θ d θ ) 2 + 2 m U θ ( θ ) + Γ ϕ sin 2 ⁡ θ ] = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=E} 次の常微分方程式は一般化座標 θ {\displaystyle \theta } を含む。 ( d S θ d θ ) 2 + 2 m U θ ( θ ) + Γ ϕ sin 2 ⁡ θ = Γ θ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }} 再び Γ θ {\displaystyle \Gamma _{\theta }} は運動の定数で、 θ {\displaystyle \theta } は消去され、最後にハミルトン–ヤコビ方程式は常微分方程式 1 2 m ( d S r d r ) 2 + U r ( r ) + Γ θ 2 m r 2 = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E} となり、これを積分すると S {\displaystyle S} が求まる。