フーリエ‐きゅうすう〔‐キフスウ〕【フーリエ級数】
フーリエ級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/26 14:58 UTC 版)
フーリエ級数（フーリエきゅうすう、英語: Fourier series）とは、複雑な周期関数や周期信号を単純な形の周期性をもつ関数の無限和（級数）によって表したものである。フーリエ級数は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入された。
- ^ Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. (1995). Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics. Elsevier. ISBN 0125157517
- ^ a b c d e Papula, Lothar (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [Mathematical Functions for Engineers and Physicists]. Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571
フーリエ級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 07:36 UTC 版)
「アイゼンシュタイン級数」の記事における「フーリエ級数」の解説
q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} と定義する。（古い書籍では、q をノーム(nome) q = e i π τ {\displaystyle q=e^{i\pi \tau }} として定義してあるものもあるが、現在では q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} が数論では標準的である。）するとアイゼンシュタイン級数のフーリエ級数は、 G 2 k ( τ ) = 2 ζ ( 2 k ) ( 1 + c 2 k ∑ n = 1 ∞ σ 2 k − 1 ( n ) q n ) {\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)} であり、ここにフーリエ係数 c2k は、 c 2 k = ( 2 π i ) 2 k ( 2 k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = − 4 k B 2 k = 2 ζ ( 1 − 2 k ) . {\displaystyle c_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.} で与えられる。 ここに、Bn はベルヌーイ数であり、ζ(z) はリーマンゼータ函数であり、σp(n) は約数函数で、n の約数の p 乗の和である。特に、 G 4 ( τ ) = π 4 45 [ 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ σ 3 ( n ) q n ] G 6 ( τ ) = 2 π 6 945 [ 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ σ 5 ( n ) q n ] . {\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left[1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right]\\G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left[1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right].\end{aligned}}} を得る。 n を渡る和の部分は、ランベルト級数（英語版）(Lambert series)として表すことができる。すなわち、任意の複素数 |q| ≤ 1 と a に対して、 ∑ n = 1 ∞ q n σ a ( n ) = ∑ n = 1 ∞ n a q n 1 − q n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}} を得る。アイゼンシュタイン級数のq-展開(q-expansion)を考えると、別な表し方である。 E 2 k ( τ ) = G 2 k ( τ ) 2 ζ ( 2 k ) = 1 + 2 ζ ( 1 − 2 k ) ∑ n = 1 ∞ n 2 k − 1 q n 1 − q n = 1 − 4 k B 2 k ∑ d , n ≥ 1 n 2 k − 1 q n d {\displaystyle E_{2k}(\tau )={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}} が良くつかわれる。
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フーリエ級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)
ベルヌーイ多項式のフーリエ級数は、 B n ( x ) = − n ! ( 2 π i ) n ∑ k ≠ 0 e 2 π i k x k n = − 2 n ! ∑ k = 1 ∞ cos ( 2 k π x − n π 2 ) ( 2 k π ) n {\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}} なる式で与えられるディリクレ級数でもある（単純に n が大きいとき、適当にスケール変換された三角函数に近づくことに注意せよ）。 これはフルヴィッツのゼータ函数に対する同様の表示の特別の場合 B n ( x ) = − Γ ( n + 1 ) ∑ k = 1 ∞ exp ( 2 π i k x ) + e i π n exp ( 2 π i k ( 1 − x ) ) ( 2 π i k ) n {\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}} である。この展開は n ≥ 2 のとき 0 ≤ x ≤ 1 で、n = 1 のとき 0 < x < 1 で有効である。 オイラー多項式のフーリエ級数も求められる。フーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数を以下のように定義すると。 C ν ( x ) = ∑ k=0 ∞ cos ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν , {\displaystyle C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}},} S ν ( x ) = ∑ k=0 ∞ sin ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν . {\displaystyle S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}.} ただし、 ν> 1 {\displaystyle \nu >1} とする。また、 C 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n − 1 ) ! π 2 n E 2 n − 1 ( x ) {\displaystyle C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)} S 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n ) ! π 2 n + 1 E 2 n ( x ) {\displaystyle S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x)} である。Cν および Sν はそれぞれ（x = 1/2 に関して）奇関数および偶関数、即ち C ν ( x ) = − C ν ( 1 − x ) , {\displaystyle C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x),} S ν ( x ) = S ν ( 1 − x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x)} を満たすことに注意せよ。これらはルジャンドルのカイ関数 χ ν {\displaystyle \chi _{\nu }} を用いて、 C ν ( x ) = ℜ e χ ν ( e i x ) , {\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {\Re {\mathit {e}}} \chi _{\nu }(e^{ix}),} S ν ( x ) = ℑ m χ ν ( e i x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {\Im {\mathit {m}}} \chi _{\nu }(e^{ix})} ともかける。
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