モジュラー群

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モジュラー群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/02 08:38 UTC 版)

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この項目では、モジュラー変換に関する群について説明しています。部分群の束がモジュラーな群については「岩澤群」をご覧ください。

数学においてモジュラー群(modular group)とは、数論、幾何学、代数学や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換群や行列群により表されるものである。

定義

モジュラー群 ${\displaystyle \Gamma }$

上半平面上の Γ の作用の典型的な基本領域

モジュラー群 Γ は H 上に PSL(2, R) の離散部分群(discrete subgroup)として作用する、つまり、H の各々の 元 z に対して、z の近傍をとり、z の軌道の他の元を含まないようにすることができる。このことはまた、基本領域（英語版）を構成することができることを意味する。（大まかには、）基本領域は H の中のすべての z の軌道からちょうど一つづつの代表元を選ぶことで構成することができる。（領域の境界に注意が必要である。）

基本領域を構成する方法は多数あるが、すべてに共通なことは、領域

${\displaystyle R=\left\{z\in \mathbf {H} :\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}}$

付帯するタイリンクを写像することにより、写像 (2, 3, ∞) → (2, 3, 7) を可視化^[6]

（モジュラー群から三角形群への）写像 (2, 3, ∞) → (2, 3, n) の群は、このタイリングのことばで（モジュラー曲線のタイリングである）右図のように可視化することができる。

合同部分群

→詳細は「合同部分群」を参照

モジュラー群 Γ の重要な部分群には、合同部分群（英語版）(congruence subgroup)と呼ばれる群があり、付帯する行列の上に合同関係式を導入することにより与えられる。

自然な準同型 SL(2, Z) → SL(2, Z/NZ) が各要素に対して modulo N をとることにより得られる。このことはモジュラー群の準同型 PSL(2, Z) → PSL(2, Z/NZ) を導く。この準同型の核は、レベル N の主合同部分群（英語版）(principal congruence subgroup)と呼ばれ、Γ(N) と書く。次の短完全系列を得る。

${\displaystyle 1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to {\mbox{PSL}}(2,\mathbf {Z} /N\mathbf {Z} )\to 1}$