静力学と動力学の対応
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/11 14:45 UTC 版)
「ウィック回転」の記事における「静力学と動力学の対応」の解説
ウィック回転によって、n 次元の静力学問題と n -1次元の動力学問題を対応付けることができる。このとき、静力学における空間1次元と動力学における時間1次元が置き換えられる。 単純な例として n = 2の場合を考える。端点が固定されたばねを重力場中に置く。このとき、ばねの形状は曲線 y(x ) によって表される。曲線に関わる全エネルギーが停留点にあるとき、このばねは釣り合いの位置にある。通常、この停留点がエネルギーの最小値となる。エネルギーを計算するためにはエネルギー密度を位置座標 x で積分すればよい。 E = ∫ x [ k ( d y ( x ) d x ) 2 + V ( x ) ] d x {\displaystyle E=\int _{x}\left[k\left({\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}+V(x)\right]\mathrm {d} x} ここで、k はばね定数、V (x )は重力ポテンシャルである。 この静力学問題と対応する空間1次元の動力学問題は鉛直投げ上げ運動である。このとき、投げ上げられた物体は作用が停留点をとるような経路上を運動する。これが最小作用の原理である。作用 S はラグランジアンの時間積分として以下のように表される。 S = ∫ t [ m ( d y ( t ) d t ) 2 − V ( t ) ] d t {\displaystyle S=\int _{t}\left[m\left({\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-V(t)\right]\mathrm {d} t} 以上から、ウィック回転を用いて静力学問題を動力学問題へ帰着させるためには、x →t 、dx →idt 、k →m と置き換えればよい。 E → ∫ t [ m ( d y ( t ) i d t ) 2 + V ( t ) ] ( i d t ) = − i ∫ t [ m ( d y ( t ) d t ) 2 − V ( t ) ] d t = − i S {\displaystyle {\begin{aligned}E&\to \int _{t}\left[m\left({\frac {\mathrm {d} y(t)}{i\mathrm {d} t}}\right)^{2}+V(t)\right](i\mathrm {d} t)\\&=-i\int _{t}\left[m\left({\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-V(t)\right]\mathrm {d} t=-iS\end{aligned}}}
※この「静力学と動力学の対応」の解説は、「ウィック回転」の解説の一部です。
「静力学と動力学の対応」を含む「ウィック回転」の記事については、「ウィック回転」の概要を参照ください。
- 静力学と動力学の対応のページへのリンク
