立方数の和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/24 14:18 UTC 版)
1からn 番目の立方数 N = n3 までの和は、 ∑ k = 1 n k 3 = 1 + 8 + 27 + . . . + N = n 2 ( n + 1 ) 2 4 = { n ( n + 1 ) 2 } 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=1+8+27+...+N={n^{2}(n+1)^{2} \over 4}=\left\{{n(n+1) \over 2}\right\}^{2}} となる。つまりn番目の三角数の2乗に等しい。したがって、次の等式が成り立つ。 ∑ k = 1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = ( 1 + 2 + 3 + . . . + n ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}} これは、1 から n 番目までの立方数の和が、1 から n までの自然数の和 (三角数) の2乗に等しいことを意味している。具体的には1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A000537) 立方数の逆数和は収束し、次のように表される。 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 = 2 π 2 7 log 2 + 16 7 ∫ 0 π 2 x log ( sin x ) d x {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log(\sin x)dx} この値は 1.202056903159594… であり、アペリーの定数とよばれる。 すべての自然数は、9個以下の立方数の和として表される（ウェアリングの問題）。このうち丁度9個使用するものは、23と239だけである。 2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は、1729 = 123 + 13 = 103 + 93 である。負の整数を含めると絶対値最小は 91 = 33 + 43 = 63 + (-5)3 、ただし 0 と 1 は除く。詳細は「キャブタクシー数」、「タクシー数」、および「シュリニヴァーサ・ラマヌジャン」を参照 奇数の立方和は 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, …である。(オンライン整数列大辞典の数列 A002593) 偶数の立方和は 8, 72, 288, 800, 1800, 3528, 6272, 10368, 16200, 24200,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A254371) 3連続整数の立方和は 9, 36, 99, 216, 405, 684, 1071, 1584, 2241, 3060, 4059, 5256, 6669, 8316, 10215,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A027602) 4連続整数の立方和は 36, 100, 224, 432, 748, 1196, 1800, 2584, 3572, 4788, 6256, 8000, 10044,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A027603) 5連続整数の立方和は 100, 225, 440, 775, 1260, 1925, 2800, 3915, 5300, 6985, 9000, 11375,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A027604) 3連続以上の整数の立方和で表せる立方数は 216, 8000, 33075, 64000, 89559, 105525, 164800, 188784, 189189, 216000, …である。(オンライン整数列大辞典の数列 A265845)上記の立方数の中で、1つの連続整数の組でしか表すことができない立方数は 216, 8000, 64000, 216000, …である。(オンライン整数列大辞典の数列 A131643)
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