タクシー数

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タクシー数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/27 01:54 UTC 版)

n 番目のタクシー数（タクシーすう、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される）とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライト（英語版）が全ての正の整数 n に対し、Ta(n)が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n)であるとは限らない。

「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが指摘したエピソードから来ている（後述）。そのため、この数の問題とタクシーとの関連は全く無い。

なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数と呼ばれる。

概要

与えられた正の整数 N に対し、不定方程式

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=N}$

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タクシー数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 23:35 UTC 版)

「シュリニヴァーサ・ラマヌジャン」の記事における「タクシー数」の解説

ラマヌジャンの逸話として有名なものの一つに次のものがある。 1918年2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディは次のようなことを言った。 「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった。さして特徴のない数字だったよ」 これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。 「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」 実は、1729は次のように表すことができる。 1729 = 123 + 13 = 103 + 93 すなわち、1729が「A = B3 + C3 = D3 + E3」という形で表すことのできる数 A のうち最小のものであることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。 このようなことから、リトルウッドは「全ての自然数はラマヌジャンの個人的な友人だ」と述べたと言われる。この逸話のため、1729は俗にハーディ・ラマヌジャン数やタクシー数などと呼ばれており、スタートレックやフューチュラマなどのSFや、ハッカー文化の文脈では「一見すると特に意味のない数」のような文脈でこの数が使われていることがある。ちなみに1729は、カーマイケル数でもある。 この逸話には続きがあり、ハーディが四乗数でも同様のものがあるのかを尋ねた所、ラマヌジャンは少し考えた後「あると思うが大きすぎて分からない」と答えたという。この直感は当たっており、実際、四乗数はそれより何桁も大きい数である。 635 318 657 = 1344 + 1334 = 1584 + 594 補足：上記でいう立方数は自然数を3乗した数のことであり、整数（0は含まず）を3乗した数として負の数まで含め、また絶対値が違う組み合わせからなる値は91が最小（絶対値が最小）である。 91 = 63 + (−5)3 = 43 + 33 詳細は「タクシー数」、「キャブタクシー数」、および「一般化タクシー数」を参照