生命関数の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 06:21 UTC 版)
生命表の中であらわれる生命関数を以下にまとめる。 年齢階級 [ x , x + n ) {\displaystyle [x,x+n)} 生命表の死亡率の算定基準として、 x {\displaystyle x} 歳以上、 x + n {\displaystyle x+n} 歳未満の範囲で年齢を区切る場合、 [ x , x + n ) {\displaystyle [x,x+n)} の年齢階級、または n {\displaystyle n} 歳階級と呼ぶ。乳幼児の場合は、5日間階級・1週間階級・1ヶ月階級などが用いられる場合がある。1歳階級が多用されるが、生命表の時期・種類・地域・年齢層によっては5歳階級やそれ以上が用いられる場合もある。 死亡率 n q x {\displaystyle {}_{n}q_{x}} x {\displaystyle x} 歳に到達した人間が、 x + n {\displaystyle x+n} 歳に到達しない率は死亡率 n q x {\displaystyle {}_{n}q_{x}} と表記する。 特に、 x {\displaystyle x} 歳に到達した人間が、 x + 1 {\displaystyle x+1} 歳に到達しない率を、 x {\displaystyle x} 歳の死亡率 q x {\displaystyle q_{x}} で表す。 生存率 n p x {\displaystyle {}_{n}p_{x}} x {\displaystyle x} 歳に到達した人間が、 x + n {\displaystyle x+n} 歳に到達する率は生存率 n p x {\displaystyle {}_{n}p_{x}} と表記する。 特に、 x {\displaystyle x} 歳に到達した人間が、 x + 1 {\displaystyle x+1} 歳に到達する率を、 x {\displaystyle x} 歳の生存率 p x {\displaystyle p_{x}} で表す。 定義より、 n p x + n q x = 1 {\displaystyle {}_{n}p_{x}+{}_{n}q_{x}=1} である。 生存数 l x {\displaystyle l_{x}} 初期値 l 0 {\displaystyle l_{0}} （日本の生命表では10万）人の人間が、死亡率に従い、0歳から順次、死亡して数を減らしていく中で、 x {\displaystyle x} 歳まで到達したときの生存数を l x {\displaystyle l_{x}} とする。 すなわち、 l x + n = ( 1 − n q x ) l x {\displaystyle l_{x+n}=(1-{}_{n}q_{x})l_{x}} となるため、 n q x = 1 − l x + n l x {\displaystyle {}_{n}q_{x}=1-{\frac {l_{x+n}}{l_{x}}}} となる。 生存数曲線 l t {\displaystyle l_{t}} 生存数 l x {\displaystyle l_{x}} を、 x = 0 {\displaystyle x=0} ～ ∞ {\displaystyle \infty } までプロットし、中間を何らかの仮説で連続微分可能な形で補間した曲線 l t {\displaystyle l_{t}} を定める。 死亡数 n d x {\displaystyle {}_{n}d_{x}} 生存数曲線 l t {\displaystyle l_{t}} において、 x {\displaystyle x} 歳に到達した人間が、 x + n {\displaystyle x+n} 歳に到達する前に死亡することが期待される人数は、死亡数 n d x {\displaystyle {}_{n}d_{x}} と表記する。 特に、 x {\displaystyle x} 歳に到達した人間が、 x + 1 {\displaystyle x+1} 歳に到達する前に死亡することが期待される人数を、 x {\displaystyle x} 歳の死亡数 d x {\displaystyle d_{x}} で表す。 定常人口 n L x {\displaystyle {}_{n}L_{x}} x {\displaystyle x} 歳から x + n {\displaystyle x+n} 歳の定常人口を、 n L x = ∫ x x + n l t d t {\displaystyle {}_{n}L_{x}=\int _{x}^{x+n}l_{t}dt} と定義する。 特に、 x {\displaystyle x} 歳の定常人口を、 L x = ∫ x x + 1 l t d t {\displaystyle L_{x}=\int _{x}^{x+1}l_{t}dt} とする。 定常人口は、現在における出生数・死亡率が将来も続くと仮定した場合の、期待される未来の各年齢階級の人口を示す。 定常人口総数 T x {\displaystyle T_{x}} x {\displaystyle x} 歳以上の定常人口総数を、 T x = ∫ x ∞ l t d t {\displaystyle T_{x}=\int _{x}^{\infty }l_{t}dt} と定義する。 平均余命 e x o {\displaystyle {\overset {\mathrm {o} }{e_{x}}}} x {\displaystyle x} 歳での平均余命を、 e x o = T x l x {\displaystyle {\overset {\mathrm {o} }{e_{x}}}={T_{x} \over l_{x}}} と定義する。 平均寿命 e 0 o {\displaystyle {\overset {\mathrm {o} }{e_{0}}}} 平均寿命を、0歳の平均余命、すなわち e 0 o = T 0 l 0 {\displaystyle {\overset {\mathrm {o} }{e_{0}}}={T_{0} \over l_{0}}} と定義する。 これはその年に生まれた子供が何歳まで生きられるかの期待値となる。 寿命中位数 α {\displaystyle \alpha } 生存数曲線 l t {\displaystyle l_{t}} 上で、出生者のうち、ちょうど半数が生存し、半数が死亡すると期待される年数 α {\displaystyle \alpha } を寿命中位数と定義し、 l α = l 0 2 {\displaystyle l_{\alpha }={\frac {l_{0}}{2}}} が成立する数である。 死力 μ x {\displaystyle \mu _{x}} 生存数曲線 l t {\displaystyle l_{t}} における、 x {\displaystyle x} 歳の瞬間における死亡率を、死力 μ x = − 1 l x d l t d t | t = x {\displaystyle \mu _{x}=-{\frac {1}{l_{x}}}\left.{\frac {dl_{t}}{dt}}\right|_{t=x}} と定義する。 この両辺を x {\displaystyle x} から x + n {\displaystyle x+n} まで積分すると ∫ x x + n μ t d t = − ln l x + n l x {\displaystyle \int _{x}^{x+n}\mu _{t}dt=-\ln {\frac {l_{x+n}}{l_{x}}}} となるため、 l x + n = l x exp ( − ∫ x x + n μ t d t ) {\displaystyle l_{x+n}=l_{x}\exp(-\int _{x}^{x+n}\mu _{t}dt)} 、すなわち、 n q x = 1 − exp ( − ∫ x x + n μ t d t ) {\displaystyle {}_{n}q_{x}=1-\exp(-\int _{x}^{x+n}\mu _{t}dt)} となる。
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