標準的な微分積分学の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/21 17:50 UTC 版)
「積の微分法則」の記事における「標準的な微分積分学の場合」の解説
積の法則の厳密な証明には、微分の定義と極限の基本性質を用いる。 積 h(x) = f(x)g(x) について、各因子 f, g は一点 x0 においてそれぞれ微分可能であるものとする（以降、本節を通して x0 は固定するものとする）。主張は、積 h が点 x0 において微分可能であること、およびその微分係数 h'(x0) が f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) で与えられることの二点である。 差分 Δh := h(x0+Δx) - h(x0) を考える。x0 は固定しているといっても、Δh は Δx の値（これは十分に「小さい」ものと考える）に依存して変化することに注意せよ。 積 h が x0 において微分可能であるということは、極限 lim Δ x → 0 Δ h Δ x {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\Delta h \over \Delta x}} が存在するという意味であり、また微分可能であるとき h'(x0) はこの極限の値として定義されるのであった。 Δh と同様に、Δf := f(x0+Δx) - f(x0) および Δg := g(x0+Δx) - g(x0) と定める。これらはやはり Δh と同じく Δx の函数になる。このとき f(x0+Δx) = f(x0) + Δf および g(x0+Δx) = g(x0) + Δg である。 さてこのとき、h(x0+Δx) = f(x0+Δx)g(x0+Δx) = (f(x0) + Δf)(g(x0)+Δg) を分配法則に従って展開すれば、 h ( x 0 + Δ x ) = f ( x 0 + Δ x ) g ( x 0 + Δ x ) = f ( x 0 ) g ( x 0 ) + Δ f g ( x 0 ) + f ( x 0 ) Δ g + Δ f Δ g {\displaystyle h(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0}+\Delta x)g(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})g(x_{0})+\Delta fg(x_{0})+f(x_{0})\Delta g+\Delta f\Delta g} (∗) を得る。証明自体には不必要だが、この積を以下のような面積図 を用いて図形的に表すのも理解の一助となるであろう。Δh の値を得るには、先の等式 (∗) から h(x0) = f(x0)g(x0) を引けばよいのだから、面積図で言えば白い矩形の面積を除く残りの三矩形の面積にあたる Δ h = Δ f g ( x 0 ) + f ( x 0 ) Δ g + Δ f Δ g {\displaystyle \Delta h=\Delta fg(x_{0})+f(x_{0})\Delta g+\Delta f\Delta g} を得る（右辺の前二項は面積図で言うところの青い矩形の面積に相当し、三番目の項は灰色の矩形の面積に相当する）。 微分係数 h'(x0) を求めるためには Δ h Δ x = Δ f g ( x 0 ) + f ( x 0 ) Δ g + Δ f Δ g Δ x = Δ f Δ x g ( x 0 ) + f ( x 0 ) Δ g Δ x + Δ f Δ g Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta h}{\Delta x}}={\frac {\Delta fg(x_{0})+f(x_{0})\Delta g+\Delta f\Delta g}{\Delta x}}={\frac {\Delta f}{\Delta x}}g(x_{0})+f(x_{0}){\frac {\Delta g}{\Delta x}}+{\frac {\Delta f\Delta g}{\Delta x}}} (∗∗) の Δx を 0 に近づけた極限を求めねばならない。極限の基本性質と微分の定義を用いて、一項づつ処理していこう。まずは lim Δ x → 0 ( Δ f Δ x g ( x 0 ) ) = f ′ ( x 0 ) g ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta f}{\Delta x}}g(x_{0})\right)=f'(x_{0})g(x_{0})} であり、同様に lim Δ x → 0 ( f ( x 0 ) Δ g Δ x ) = f ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\left(f(x_{0}){\frac {\Delta g}{\Delta x}}\right)=f(x_{0})g'(x_{0})} を得る。最後の項については、Δf⋅Δg が「二階の無限小」だから結局は無視できる（極限は 0 になる）のだけれども、これを厳密に言うならば lim Δ x → 0 Δ f Δ g Δ x = lim Δ x → 0 ( Δ f Δ x Δ g ) = lim Δ x → 0 Δ f Δ x ⋅ lim Δ x → 0 Δ g = f ′ ( x 0 ) lim Δ x → 0 Δ g {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f\Delta g}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta f}{\Delta x}}\Delta g\right)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\Delta g}=f'(x_{0})\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta g}} において、g は連続であるから Δg の極限は 0 となることを用いる。結論には変わりないが lim Δ x → 0 Δ g = lim Δ x → 0 ( Δ g Δ x Δ x ) = lim Δ x → 0 Δ g Δ x ⋅ lim Δ x → 0 Δ x = g ′ ( x 0 ) ⋅ 0 = 0 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\Delta g}=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta g}{\Delta x}}\Delta x\right)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta g}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\Delta x=g'(x_{0})\cdot 0=0} という形で述べてもよい。こうして等式 (∗∗) の三項がそれぞれ極限を持つことが示されたから、したがって極限 lim Δ x → 0 Δ h Δ x {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}} は存在し、その値は三項の極限の和に等しい。即ち、積 h(x) は点 x0 において微分可能であり、その微分係数は h ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ h Δ x = lim Δ x → 0 ( Δ f Δ x g ( x 0 ) ) + lim Δ x → 0 ( f ( x 0 ) Δ g Δ x ) + lim Δ x → 0 ( Δ f Δ g Δ x ) = f ′ ( x 0 ) g ( x 0 ) + f ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) + 0 = f ′ ( x 0 ) g ( x 0 ) + f ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x_{0})&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta f}{\Delta x}}g(x_{0})\right)+\lim _{\Delta x\to 0}\left(f(x_{0}){\frac {\Delta g}{\Delta x}}\right)+\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta f\Delta g}{\Delta x}}\right)\\&=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})+0\\&=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})\\\end{aligned}}} で与えられる。これが所期の結果であった。
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