有界収束定理とは? わかりやすく解説

有界収束定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/22 10:58 UTC 版)

優収束定理」の記事における「有界収束定理」の解説

優収束定理一つの系として、次に述べる有界収束定理がある: {fn} が実数可測関数からなる一様有界関数列で、有界測度空間 (S, Σ, μ) (すなわち、μ(S) が有限上である関数 f に各点収束するならば、この極限 f は可積分関数であり、 lim n → ∞ ∫ S f n d μ = ∫ S f d μ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }} が成り立つ。 注意: この関数列の各点収束性と一様有界性は、次の仮定の下で、(μ に関して)ほとんど至る所成立すれば良いという様に緩められる測度空間 (S, Σ, μ) は完備であるか、あるいは、f はほとんど至る所存在する各点極限とほとんど至る所一致する可測関数である。 証明考えている関数列が一様有界であるため、ある実数 M が存在してすべての x ∈ S とすべての n に対して |fn(x)| ≤ M が成立するすべての x ∈ S に対して g(x) = M と定義する。すると、考えている関数列は g によって支配され、また g は測度有限集合上の定数関数であることから可積分である。したがって優収束定理適用することによって定理証明される。 もしも定理仮定が μ に関してほとんど至る所でのみ成立するであれば、μ に関する零集合 N ∈ Σ が存在して関数 fn1S-N は S 上の至る所でその定理仮定満たす

※この「有界収束定理」の解説は、「優収束定理」の解説の一部です。
「有界収束定理」を含む「優収束定理」の記事については、「優収束定理」の概要を参照ください。

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