有界写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/29 16:10 UTC 版)
空間 X および Y の有界集合系 B1 および B2 がそれぞれ与えられているとき、写像 f: X → Y が有界写像であるとは、f が X の任意の B1-有界集合を Y の B2-有界集合へ写すときに言う。さらに加えて f が全単射ならば逆写像 f−1 もまた有界写像であり、このとき f は界相同型 (bornological isomorphism) であると言う。 例 X と Y は任意の位相線型空間（必ずしもハウスドルフでなくてよい）とし、f: X → Y をその間の連続線型作用素とする。X と Y にそのフォン・ノイマン界相を入れるとき、f は有界線型作用素である。逆は必ずしも真でない。 定理 局所凸位相線型空間 X, Y と線型写像 u: X → Y に対して以下は同値である:u は有界写像である。 u は有界円板を有界円板に写す。 Y の任意の界呑円板 D に対し u − 1 ( D ) {\displaystyle u^{-1}(D)} は界呑。
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