有界函数と有限加法的測度とは? わかりやすく解説

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有界函数と有限加法的測度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/18 08:48 UTC 版)

有限加法的測度」の記事における「有界函数と有限加法的測度」の解説

函数有限加法的測度に関して積分することは一般にはよく振る舞わないが、考え函数有界かつ全体空間容積有限場合には以下に述べるようによく振る舞う適当な有限加法的測度 λ を固定し、以下それに関する容積考える。考え空間 X の全容積 λ(X) は有限とし、函数 f は X 上有界かつ実数直線上の任意の開集合 U の引き戻し f−1(U) が容積を持つようなもの(有界 λ-可測函数)とする。このとき f の有限加法的測度 λ に関する積分を ∫ f d λ = lim ∑ i = 1 n f ( α i ) λ ( f − 1 ( A i ) ) {\displaystyle \int f\,{\mathit {d\lambda }}=\lim \sum _{i=1}^{n}f(\alpha _{i})\lambda (f^{-1}(A_{i}))} と定義することができる(右辺いわゆるリーマン和」である)。ここで Ai はこれらの合併が f の値域被覆する互いに素半開集合からなる有限族であり、αiAi任意の元である。極限全ての集合 Ai の径を 0 にするようにとる。 空間 X 上の測度 μ をとれば、X 上の有界な μ-可測函数全体上限ノルムに関してバナッハ空間を成す。このバナッハ空間双対空間における正の元(英語版)は X 上の有界有限加法的測度 λ に対応する汎函数としての λ の有界函数 f における値は積分 ∫ f dλ で与えられる)。同様に本質的有界函数空間本質的上限ノルム入れたバナッハ空間 L∞(X, μ) を考えると、その双対空間正元測度集合上で消え有界有限加法的測度与えられる

※この「有界函数と有限加法的測度」の解説は、「有限加法的測度」の解説の一部です。
「有界函数と有限加法的測度」を含む「有限加法的測度」の記事については、「有限加法的測度」の概要を参照ください。

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