有界変動数列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/17 03:00 UTC 版)
バナハ空間の例として Dunford & Schwartz (1958, Chapter IV) は有界変動函数の空間に加えて有界変動数列の空間を考える。実または複素数列 x = (xi) の全変動は V T ( x ) = ∑ i = 1 ∞ | x i + 1 − x i | {\displaystyle V_{T}(x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|} で定義される。全変動が有限であるような数列全体の成す空間 bv は ‖ x ‖ b v = | x 1 | + V T ( x ) = | x 1 | + ∑ i = 1 ∞ | x i + 1 − x i | {\displaystyle \|x\|_{bv}=|x_{1}|+V_{T}(x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|} で定められるノルムに関してバナッハ空間を成す。 全変動それ自体も bv の適当な部分空間上のノルムを定める。すなわち、limn→∞ xn = 0 なる数列 x = (xn) 全体の成す空間 bv0 上のノルムが ‖ x ‖ b v 0 = V T ( x ) = ∑ i = 1 ∞ | x i + 1 − x i | {\displaystyle \|x\|_{bv_{0}}=V_{T}(x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|} で与えられる。このノルムに関して bv0 もバナッハ空間となる。
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