有界性と連続性が同値であること
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 07:17 UTC 版)
「有界作用素」の記事における「有界性と連続性が同値であること」の解説
上述のように、二つのノルム空間 X と Y の間の線形作用素 L が有界であることと、連続であることは必要十分である。その証明は次のように与えられる。 L が有界であると仮定する。このとき、X に含まれるすべてのベクトル v および h （h は非ゼロとする）に対し、 ‖ L ( v + h ) − L v ‖ Y = ‖ L h ‖ Y ≤ M ‖ h ‖ X {\displaystyle \|L(v+h)-Lv\|_{Y}=\|Lh\|_{Y}\leq M\|h\|_{X}} が成立する。h をゼロへと収束させることにより、L の v における連続性が示される。また、この定数 M は v に依存しないため、L は実際には一様連続（実際にはさらに強く、リプシッツ連続）である。 逆を考える。L のゼロにおける連続性により、 ‖ L ( h ) ‖ Y = ‖ L ( h ) − L ( 0 ) ‖ Y ≤ 1 {\displaystyle \|L(h)\|_{Y}=\|L(h)-L(0)\|_{Y}\leq 1} が ‖ h ‖ X ≤ δ {\displaystyle \|h\|_{X}\leq \delta } を満たすすべての h ∈ X {\displaystyle h\in X} に対して成立するような定数 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} が存在する。したがって、X の任意のゼロでない元 v {\displaystyle v} に対し、 ‖ L v ‖ Y = ‖ ‖ v ‖ X δ L ( δ v ‖ v ‖ X ) ‖ Y = ‖ v ‖ X δ ‖ L ( δ v ‖ v ‖ X ) ‖ Y ≤ ‖ v ‖ X δ ⋅ 1 = 1 δ ‖ v ‖ X {\displaystyle \|Lv\|_{Y}=\left\|{\|v\|_{X} \over \delta }L\left(\delta {v \over \|v\|_{X}}\right)\right\|_{Y}={\|v\|_{X} \over \delta }\left\|L\left(\delta {v \over \|v\|_{X}}\right)\right\|_{Y}\leq {\|v\|_{X} \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|v\|_{X}} が得られる。すなわち、L は有界である。
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