有界性定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/31 01:47 UTC 版)
「最大値最小値定理」の記事における「有界性定理の証明」の解説
連続函数 f が有界閉区間 [a, b] 上で上に有界でないとすると、各自然数 n に対して点 xn ∈ [a,b] を f(xn) > n となるものが取れるから、数列 {xn} が作れる。区間 [a, b] は有界ゆえ、ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理から {xn} の収斂部分列 {xnk} が取れることが従い、いまその収斂先を x とすると区間 [a, b] が閉ゆえ x はこの区間に属する。f は x で連続であるから（f は x において点列連続（英語版）で）部分列 {f(xnk)} は実数 f(x) へ収斂しなければならないが、f(xnk) > nk ≥ k が任意の k について成り立つことから {f(xnk)} は正の無限大 +∞ へ発散することが従うから、これは矛盾である。従って f は有界閉区間 [a, b] において有界である。
※この「有界性定理の証明」の解説は、「最大値最小値定理」の解説の一部です。
「有界性定理の証明」を含む「最大値最小値定理」の記事については、「最大値最小値定理」の概要を参照ください。
ウィキペディア小見出し辞書の「有界性定理の証明」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。
お問い合わせ。
- 有界性定理の証明のページへのリンク
