半連続函数への定理の拡張とは? わかりやすく解説

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半連続函数への定理の拡張

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/31 01:47 UTC 版)

最大値最小値定理」の記事における「半連続函数への定理の拡張」の解説

函数連続性半連続性弱めると、それに対応して有界性定理および最大値最小値定理は(函数補完数直線に値をとるものとして、つまり函数値として –∞ あるいは +∞ となることを許して半分だけ成立する明確に書けば、 (上方有界性および最大値定理 函数 f: [a,b] → [–∞, ∞) が上半連続、即ち任意の x ∈ [a, b] について lim supy→x f(y) ≤ f(x)満たすならば、f は上に有界で、かつその上限に到達する。 (下方有界性および最小値定理 函数 f: [a, b] → (–∞,∞] が下半連続、即ち任意の x ∈ [a, b] について liminfyx f(y) ≥ f(x)満たすならば、f は下に有界で、かつその下限到達する後者は −f に前者適用すればよいから、前者示せば十分である。任意の x ∈ [a, b] に対して f(x) = –∞ ならば、上限も –∞ で定理成り立つ。それ以外場合には、上記の証明を少し修正することで証明得られる有界性定理の証明において、f の x における上半連続性からは、部分数列 {f(xnk)} の上極限f(x) (< ∞) で上から抑えられることしか言えないが、矛盾を得るにはそれで十分である。最大値定理の証明においては、f の d における上半連続性からは部分数列 {f(dnk)} の上極限有界であること f(d) によって上から抑えられることがわかるが、それで上限 M に対して f(d) = M が成り立つことを言うのには十分である。 実数値函数上半連続かつ下半連続であることと、それが通常の意味で連続であることとは同値であるから上記二つ定理から、有界性定理最大値最小値定理導かれる

※この「半連続函数への定理の拡張」の解説は、「最大値最小値定理」の解説の一部です。
「半連続函数への定理の拡張」を含む「最大値最小値定理」の記事については、「最大値最小値定理」の概要を参照ください。

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