時間不変性と線型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 06:54 UTC 版)
「LTIシステム理論」の記事における「時間不変性と線型写像」の解説
ここでは、時間を独立変数とし、そのインパルス応答が2次元関数であるシステムを想定し、時不変性によってそれを1次元に還元できることを示す。例えば、入力信号 x ( t ) {\displaystyle x(t)} において、その添え字集合が実数線であるとする（すなわち、 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } ）。線型作用素 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} はその入力信号に対して処理をするシステムを表している。この添え字集合に対して適切な作用素は、次のような2次元関数である。 h ( t 1 , t 2 ) where t 1 , t 2 ∈ R {\displaystyle h(t_{1},t_{2}){\mbox{ where }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} } H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型作用素なので、入力信号 x ( t ) {\displaystyle x(t)} に対するシステムの動作は、以下の重ね合わせ積分で表される線型写像となる。 y ( t 1 ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t 1 , t 2 ) x ( t 2 ) d t 2 {\displaystyle y(t_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }h(t_{1},t_{2})\,x(t_{2})\,dt_{2}} 線型作用素 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が時不変でもある場合、次のようになる。 h ( t 1 , t 2 ) = h ( t 1 + τ , t 2 + τ ) ∀ τ ∈ R {\displaystyle h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}+\tau ,t_{2}+\tau )\qquad \forall \,\tau \in \mathbb {R} } ここで、次のように設定する。 τ = − t 2 {\displaystyle \tau =-t_{2}\,} すると、次のようになる。 h ( t 1 , t 2 ) = h ( t 1 − t 2 , 0 ) {\displaystyle h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0)\,} h ( t 1 , t 2 ) {\displaystyle h(t_{1},t_{2})} の第二引数がゼロなら、通常それを簡潔さのために削除するので、上記の重ね合わせ積分はフィルタ設計でよく使われる畳み込み積分になる。 y ( t 1 ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t 1 − t 2 ) x ( t 2 ) d t 2 = ( h ∗ x ) ( t 1 ) {\displaystyle y(t_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }h(t_{1}-t_{2})\,x(t_{2})\,dt_{2}=(h*x)(t_{1})} 従って、この畳み込み積分は任意の入力関数についての線型時不変系の作用を表している。有限次元のアナログについては、巡回行列を参照されたい。
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時間不変性と線型写像
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「LTIシステム理論」の記事における「時間不変性と線型写像」の解説
ここでは、時間を独立変数とし、そのインパルス応答が2次元関数であるシステムを想定し、時不変性によってそれを1次元に還元できることを示す。例えば、入力信号 x [ n ] {\displaystyle x[n]} において、その添え字集合が整数であるとする（すなわち、 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } ）。線型作用素 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} はその入力信号に対して処理をするシステムを表している。この添え字集合に対して適切な作用素は、次のような2次元関数である。 h [ n 1 , n 2 ] where n 1 , n 2 ∈ Z {\displaystyle h[n_{1},n_{2}]{\mbox{ where }}n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} } H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型作用素なので、入力信号 x [ n ] {\displaystyle x[n]} に対するシステムの動作は、以下の重ね合わせ総和で表される線型写像となる。 y [ n 1 ] = ∑ n 2 = − ∞ ∞ h [ n 1 , n 2 ] x [ n 2 ] {\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1},n_{2}]\,x[n_{2}]} 線型作用素 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が時不変でもある場合、次のようになる。 h [ n 1 , n 2 ] = h [ n 1 + m , n 2 + m ] ∀ m ∈ Z {\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}+m,n_{2}+m]\qquad \forall \,m\in \mathbb {Z} } ここで、次のように設定する。 m = − n 2 {\displaystyle m=-n_{2}\,} すると、次のようになる。 h [ n 1 , n 2 ] = h [ n 1 − n 2 , 0 ] {\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}-n_{2},0]\,} h [ n 1 , n 2 ] {\displaystyle h[n_{1},n_{2}]} の第二引数がゼロなら、通常それを簡潔さのために削除するので、上記の重ね合わせ積分はフィルタ設計でよく使われる畳み込み総和になる。 y [ n 1 ] = ∑ n 2 = − ∞ ∞ h [ n 1 − n 2 ] x [ n 2 ] = ( h ∗ x ) [ n 1 ] {\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1}-n_{2}]\,x[n_{2}]=(h*x)[n_{1}]} 従って、この畳み込み総和は任意の入力関数についての線型時不変系の作用を表している。有限次元のアナログについては、巡回行列を参照されたい。
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