局所コンパクトアーベル群上の概周期函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 16:59 UTC 版)
「概周期函数」の記事における「局所コンパクトアーベル群上の概周期函数」の解説
理論の発展と抽象的手法（ピーター＝ワイルの定理（英語版）、ポントリャーギン双対およびバナッハ環）の発見に伴い、一般論を構築することが可能となった。局所コンパクトアーベル群 G との関連において概周期性の一般のアイデアは、G による平行移動が相対コンパクト集合を形成するような L∞(G) 内の函数 F に対するものへと変わった。また同値であるが、概周期函数の空間は G の指標の有限線型結合のノルム閉包である。G がコンパクトであるなら、概周期函数は連続函数と等しい。 G のボーアコンパクト化（英語版）は、G の双対群のあり得るすべての不連続指標からなるコンパクトアーベル群で、G を稠密部分群として含むコンパクト群である。G 上の一様概周期函数の空間は、G のボーアコンパクト化上のすべての連続函数の空間と一致する。より一般に、ボーアコンパクト化は任意の位相群 G に対して定義でき、そのボーアコンパクト化上の連続あるいは Lp 函数の空間は G 上の概周期函数と見なされる。局所コンパクトな連結群 G に対し、G からそのボーアコンパクト化への写像が単射であるための必要十分条件は、G があるコンパクト群の中心拡大であること、あるいは同値であるが、コンパクト群と有限次元ベクトル空間との積であることである。
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