局所コンパクトアーベル群

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局所コンパクトアーベル群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/17 10:11 UTC 版)

局所コンパクトアーベル群（きょくしょコンパクトアーベルぐん、英: locally compact abelian group）は、調和解析、位相空間論、数論など複数の分野に現れる、特に便利な位相構造をもつアーベル群である。例えば、離散位相を備えた整数全体の加法群や、通常の位相を備えた実数全体、円周（1次元トーラス）などが局所コンパクトアーベル群の例である。

定義と例

ある位相群が局所コンパクトであるとは、その位相空間が局所コンパクト空間かつハウスドルフ空間であることを意味する。  また、位相群がアーベルであるとは、群構造としてアーベル群であることを意味する。

局所コンパクトなアーベル群の例：

• $\mathbb {R} ^{n}$

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局所コンパクトアーベル群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)

「フーリエ変換」の記事における「局所コンパクトアーベル群」の解説

フーリエ変換を任意の局所コンパクトアーベル群に対して一般化することができる。局所コンパクトアーベル群とは、抽象アーベル群であると同時に局所コンパクトなハウスドルフ空間であって、なおかつその位相に関して群演算が連続となるものである。G が局所コンパクトアーベル群ならば、G はハール測度と呼ばれる平行移動不変な測度 μ を持つ。また、局所コンパクトアーベル群 G に対して、その位相を指標全体の成す集合 ^G へ移行することができて、^G 自身も局所コンパクトアーベル群の構造を持つ。L1(G) に属する函数 f に対して、そのフーリエ変換を f ^ ( ξ ) = ∫ G ξ ( x ) f ( x ) d μ ( ∀   ξ ∈ G ^ ) によって定義することができる。 この一般化を概周期函数に適用した理論や、準周期函数に適用した理論が知られている。