局所コンパクトアーベル群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)
「フーリエ変換」の記事における「局所コンパクトアーベル群」の解説
フーリエ変換を任意の局所コンパクトアーベル群に対して一般化することができる。局所コンパクトアーベル群とは、抽象アーベル群であると同時に局所コンパクトなハウスドルフ空間であって、なおかつその位相に関して群演算が連続となるものである。G が局所コンパクトアーベル群ならば、G はハール測度と呼ばれる平行移動不変な測度 μ を持つ。また、局所コンパクトアーベル群 G に対して、その位相を指標全体の成す集合 ^G へ移行することができて、^G 自身も局所コンパクトアーベル群の構造を持つ。L1(G) に属する函数 f に対して、そのフーリエ変換を f ^ ( ξ ) = ∫ G ξ ( x ) f ( x ) d μ ( ∀ ξ ∈ G ^ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \qquad \left(\forall \ \xi \in {\hat {G}}\right)} によって定義することができる。 この一般化を概周期函数に適用した理論や、準周期函数に適用した理論が知られている。
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