プランシュレルの定理とパーセバルの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)
「フーリエ変換」の記事における「プランシュレルの定理とパーセバルの定理」の解説
f(x) および g(x) は可積分であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ ^f(ξ) および ^g(ξ) と表す。f(x) および g(x) がともに自乗可積分であるならばパーセバルの定理 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ( x ) ¯ d x = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) g ^ ( ξ ) ¯ d ξ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi } が成立する。ここで上付きバーは複素共役を表す。 パーセバルの定理と同値なプランシュレルの定理によれば ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x = ∫ − ∞ ∞ | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi } が成立する。プランシュレルの定理により、L2(R) に属する関数の後述する意味でのフーリエ変換を定義することが可能になる。プランシュレルの定理は、フーリエ変換はもとの量のエネルギーを保存するという自然科学における解釈を持つ。著者によってはこれらの定理のどちらともをプランシュレルの定理あるいはパーセバルの定理と呼んでいる場合があるので注意を要する。 局所コンパクトアーベル群に関する文脈におけるフーリエ変換の概念の一般の定式化についてはポントリャーギン双対の項を参照されたい。
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プランシュレルの定理とパーセバルの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/29 06:10 UTC 版)
「ハンケル変換」の記事における「プランシュレルの定理とパーセバルの定理」の解説
関数 f(r) と g(r) のハンケル変換 Fν(k) と Gν(k) が定義できるとき、プランシュレルの定理 (en) により以下が成り立つ。 ∫ 0 ∞ f ( r ) g ( r ) r d r = ∫ 0 ∞ F ν ( k ) G ν ( k ) k d k . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)r~dr=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)k~dk.} プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。 ∫ 0 ∞ | f ( r ) | 2 r d r = ∫ 0 ∞ | F ν ( k ) | 2 k d k . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}r~dr=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}k~dk.} これらのことは、基底の直交性から導かれる。
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