對稱多項式

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対称式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/26 22:41 UTC 版)

対称式（たいしょうしき、symmetric polynomial）あるいは対称多項式（たいしょうたこうしき）とは、変数を入れ替えても変わらない多項式のことである。

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対称多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:25 UTC 版)

「多変数多項式」の記事における「対称多項式」の解説

詳細は「対称式」を参照 n 変数の対称多項式とは、それが任意の二つの不定元の置換のもとで不変であるときに言う。例えば三変数で XY + YZ + ZX は対称であり、他方 X2Y + Y2Z + Z2X はそうでない。対称性により任意の対称多項式は斉次だが、任意の斉次多項式の場合と異なり、多項式の和と積のもとでこの対称性は保たれるから、対称多項式の全体は多項式環の部分環となる。 基本対称多項式 1 ≤ i ≤ n とするとき、i-次の基本対称多項式 Si は i-次単項式 Xk1⋯Xki を 1≤ k1 < ⋯ < ki ≤ n なる範囲に亙って取った和を言う。例えば、最初は各不定元を一つずつとった和 S1 := X1 + ⋯ + Xn であり、また、すべての不定元を一つずつ掛けた Sn := X1⋯Xn が最後の基本対称多項式である。 対称多項式の基本定理（フランス語版） 任意の対称多項式は、基本対称多項式の多項式に一意的に書くことができる。 ニュートンの公式（英語版） d> 0 を整数として、Pd := X d1 + ⋯ + X dn は対称多項式であり、d-次のニュートン多項式と呼ばれる。Pd を基本対称多項式の函数として表す式は（上の定理が示唆するように）ニュートンの公式から間接的に導出できる: { P d − S 1 P d − 1 + S 2 P d − 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 S n − 1 P d − n + 1 + ( − 1 ) n S n P d − n = 0 ( d ≥ n ) P d − S 1 P d − 1 + S 2 P d − 2 + ⋯ + ( − 1 ) d − 1 S d − 1 P 1 + ( − 1 ) d d S d = 0 ( d < n ) . {\displaystyle {\begin{cases}P_{d}-S_{1}P_{d-1}+S_{2}P_{d-2}+\dotsb +(-1)^{n-1}S_{n-1}P_{d-n+1}+(-1)^{n}S_{n}P_{d-n}=0&(d\geq n)\\[5pt]P_{d}-S_{1}P_{d-1}+S_{2}P_{d-2}+\dotsb +(-1)^{d-1}S_{d-1}P_{1}+(-1)^{d}dS_{d}=0&(d 0 で体に係数を持つ多項式とする。t1, …, tn を P(X) の分解体における P(X) の根（重複があってもよい）とすれば、Si(t1, …, tn) = (–1)i⋅ai (i = 1, …, n) が成り立つ。