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基本的な定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/05 22:48 UTC 版)

「芽 (数学)」の記事における「基本的な定義」の解説

位相空間 X の点 x と、2つの写像 f, g: X → Y （ここで Y は任意の集合）が与えられると、f と g は、x のある近傍 U が存在して U に制限したときに f と g が等しいときに、つまりすべての u ∈ U に対して f(u) = g(u) であるときに、x で同じ芽 (germ) を定義する。同様に、S と T が X の任意の 2つの部分集合であれば、再び x のある近傍 U が存在して S ∩ U = T ∩ U であるときに、それらは x で同じ芽を定義する。 x で同じ芽を定義することが（写像や集合の上で）同値関係であることを確かめることは直截であり、その同値類を芽（それぞれ写像の芽あるいは集合の芽）と呼ぶ。同値関係は通常 f ∼ x g {\displaystyle f\sim _{x}g} あるいは S ∼ x T {\displaystyle S\sim _{x}T} と書かれる。X 上の写像 f が与えられると、その x での芽は通常 [f]x と表記される。同様に、集合 S の x における芽は [S]x と書かれる。したがって、 [ f ] x = { g : X → Y ∣ g ∼ x f } {\displaystyle [f]_{x}=\{g\colon X\to Y\mid g\sim _{x}f\}} である。 X の点 x と Y の点 y に写す X の x における写像の芽は f : ( X , x ) → ( Y , y ) {\displaystyle f\colon (X,x)\to (Y,y)} と表記される。この表記を用いるとき、f は任意の代表写像と同じ文字 f を使って写像の同値類全体として意図されている。 2つの集合が x おいて芽同値であることと、それらの特性関数が x において芽同値であることは同値である S ∼ x T ⟺ 1 S ∼ x 1 T {\displaystyle S\sim _{x}T\;\Longleftrightarrow \;\mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}} ことに注意する。