反応速度式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/12 20:44 UTC 版)
化学反応 の反応速度式 （はんのうそくどしき、英語 : rate equation）あるいは速度式 （rate law）[1] 反応速度 と反応物 の濃度 または圧力 および定数パラメーター（主に反応速度定数 と反応次数 ）の関係式である[2] 指数関数 で与えられる。
r
=
k
[
A
]
x
[
B
]
y
{\displaystyle r\;=\;k[\mathrm {A} ]^{x}[\mathrm {B} ]^{y}}
AとBの濃度の、平衡に達するまでの時間変化（A
0 = 0.25 mol/l）。正反応の速度定数k
f = 2 min
−1 、逆反応の速度定数k
r = 1 min
−1 簡単な例 以下のように、2つの化学種 の間に平衡が成立しているとする。
A
↽
−
−
⇀
B
{\displaystyle {\ce {A <=> B}}}
反応はt =0でAの初期濃度が
[
A
]
0
{\displaystyle {\ce {[A]_0}}}
このとき、平衡定数Kは以下のように書ける。
K
=
d
e
f
k
f
k
b
=
[
B
]
e
[
A
]
e
{\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {k_{f}}{k_{b}}}={\frac {\left[{\ce {B}}\right]_{e}}{\left[{\ce {A}}\right]_{e}}}}
ここで、
[
A
]
e
{\displaystyle [{\ce {A}}]_{e}}
[
B
]
e
{\displaystyle [{\ce {B}}]_{e}}
時刻tにおけるAの濃度を
[
A
]
t
{\displaystyle [{\ce {A}}]_{t}}
[
B
]
t
{\displaystyle [{\ce {B}}]_{t}}
[
A
]
t
=
[
A
]
0
−
[
B
]
t
{\displaystyle {\ce {[A]_{\mathit {t}}=[A]_{0}-[B]_{\mathit {t}}}}}
ここで、
[
B
]
0
{\displaystyle {\ce {[B]_0}}}
これは、時刻が無限大となり、平衡に達した状態でも成立する。
[
A
]
e
=
[
A
]
0
−
[
B
]
e
{\displaystyle {\ce {[A]_{\mathit {e}}=[A]_{0}-[B]_{\mathit {e}}}}}
これは平衡定数Kの定義より、
[
B
]
e
=
x
=
k
f
k
f
+
k
b
[
A
]
0
{\displaystyle [{\ce {B}}]_{e}=x={\frac {k_{f}}{k_{f}+k_{b}}}[{\ce {A}}]_{0}}
ゆえに、
[
A
]
e
=
[
A
]
0
−
x
=
k
b
k
f
+
k
b
[
A
]
0
{\displaystyle \ [{\ce {A}}]_{e}=[{\ce {A}}]_{0}-x={\frac {k_{b}}{k_{f}+k_{b}}}[{\ce {A}}]_{0}}
これらの等式により、微分方程式 を解かずともAの濃度を求めることができる。
反応速度式は以下のように与えられる。
r
=
k
1
[
A
]
s
[
B
]
t
−
k
2
[
X
]
u
[
Y
]
v
{\displaystyle r={k_{1}[{\ce {A}}]^{s}[{\ce {B}}]^{t}}-{k_{2}[{\ce {X}}]^{u}[{\ce {Y}}]^{v}}\,}
−
d
[
A
]
d
t
=
k
f
[
A
]
t
−
k
b
[
B
]
t
{\displaystyle -{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}={k_{f}[{\ce {A}}]_{t}}-{k_{b}[{\ce {B}}]_{t}}\,}
微分係数が負なのは正反応がAからBに変わる反応なので、Aの濃度は減少しているからである。簡略化するため、時刻tでのAの濃度
[
A
]
t
{\displaystyle [{\ce {A}}]_{t}}
x
e
{\displaystyle x_{e}}
−
d
[
A
]
d
t
=
k
f
[
A
]
t
−
k
b
[
B
]
t
−
d
x
d
t
=
k
f
x
−
k
b
[
B
]
t
=
k
f
x
−
k
b
(
[
A
]
0
−
x
)
=
(
k
f
+
k
b
)
x
−
k
b
[
A
]
0
{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}&={k_{f}[{\ce {A}}]_{t}}-{k_{b}[{\ce {B}}]_{t}}\\-{\frac {dx}{dt}}&={k_{f}x}-{k_{b}[{\ce {B}}]_{t}}\\&={k_{f}x}-{k_{b}([{\ce {A}}]_{0}-x)}\\&={(k_{f}+k_{b})x}-{k_{b}[{\ce {A}}]_{0}}\end{aligned}}}
だから
k
f
+
k
b
=
k
b
[
A
]
0
x
e
{\displaystyle k_{f}+k_{b}={k_{b}{\frac {{\ce {[A]_0}}}{x_{e}}}}}
よって反応速度 は
d
x
d
t
=
k
b
[
A
]
0
x
e
(
x
e
−
x
)
{\displaystyle \ {\frac {dx}{dt}}={\frac {k_{b}[{\ce {A}}]_{0}}{x_{e}}}(x_{e}-x)}
つまり、
ln
(
[
A
]
0
−
[
A
]
e
[
A
]
t
−
[
A
]
e
)
=
(
k
f
+
k
b
)
t
{\displaystyle \ln \left({\frac {[{\ce {A}}]_{0}-[{\ce {A}}]_{e}}{[{\ce {A}}]_{t}-[{\ce {A}}]_{e}}}\right)=(k_{f}+k_{b})t}
という結果になる[7]
例の一般化 t=0での濃度が上と異なる場合、上式のような簡略化は使えず、微分方程式を解くことが必要になる。しかし、その微分方程式は解くことができ、その解は以下のように一般化したものとなる。
[
A
]
=
[
A
]
0
1
k
f
+
k
b
(
k
b
+
k
f
e
−
(
k
f
+
k
b
)
t
)
+
[
B
]
0
k
b
k
f
+
k
b
(
1
−
e
−
(
k
f
+
k
b
)
t
)
{\displaystyle \left[{\ce {A}}\right]=\left[{\ce {A}}\right]_{0}{\frac {1}{k_{f}+k_{b}}}\left(k_{b}+k_{f}e^{-\left(k_{f}+k_{b}\right)t}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}{\frac {k_{b}}{k_{f}+k_{b}}}\left(1-e^{-\left(k_{f}+k_{b}\right)t}\right)}
[
B
]
=
[
A
]
0
k
f
k
f
+
k
b
(
1
−
e
−
(
k
f
+
k
b
)
t
)
+
[
B
]
0
1
k
f
+
k
b
(
k
f
+
k
b
e
−
(
k
f
+
k
b
)
t
)
{\displaystyle \left[{\ce {B}}\right]=\left[{\ce {A}}\right]_{0}{\frac {k_{f}}{k_{f}+k_{b}}}\left(1-e^{-\left(k_{f}+k_{b}\right)t}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}{\frac {1}{k_{f}+k_{b}}}\left(k_{f}+k_{b}e^{-\left(k_{f}+k_{b}\right)t}\right)}
平衡定数が温度によらず一定に近く、反応速度がとても速い場合、例えば分子の立体配座異性体同士の平衡 の分析では、反応速度を求めるのには別の方法が必要になる。それは例えば、核磁気共鳴分光法 などである。
連鎖反応 反応
A
⟶
B
⟶
C
{\displaystyle {\ce {A -> B -> C}}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
k
2
{\displaystyle k_{2}}
反応物A:
d
[
A
]
d
t
=
−
k
1
[
A
]
{\displaystyle {\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=-k_{1}[{\ce {A}}]}
反応物B:
d
[
B
]
d
t
=
k
1
[
A
]
−
k
2
[
B
]
{\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]-k_{2}[{\ce {B}}]}
反応物C:
d
[
C
]
d
t
=
k
2
[
B
]
{\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {B}}]}
それぞれの濃度が反応物全体の物質量で測られる場合、これらのような線形微分方程式はマスター方程式 として計算される。その微分方程式は解析的に解くことができ、解は以下のようになる。
[
A
]
=
[
A
]
0
e
−
k
1
t
{\displaystyle [{\ce {A}}]=[{\ce {A}}]_{0}e^{-k_{1}t}}
[
B
]
=
{
[
A
]
0
k
1
k
2
−
k
1
(
e
−
k
1
t
−
e
−
k
2
t
)
+
[
B
]
0
e
−
k
2
t
k
1
≠
k
2
[
A
]
0
k
1
t
e
−
k
1
t
+
[
B
]
0
e
−
k
1
t
otherwise
{\displaystyle \left[{\ce {B}}\right]={\begin{cases}\left[{\ce {A}}\right]_{0}{\dfrac {k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}\left(e^{-k_{1}t}-e^{-k_{2}t}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}e^{-k_{2}t}&k_{1}\neq k_{2}\\\left[{\ce {A}}\right]_{0}k_{1}te^{-k_{1}t}+\left[{\ce {B}}\right]_{0}e^{-k_{1}t}&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}
[
C
]
=
{
[
A
]
0
(
1
+
k
1
e
−
k
2
t
−
k
2
e
−
k
1
t
k
2
−
k
1
)
+
[
B
]
0
(
1
−
e
−
k
2
t
)
+
[
C
]
0
k
1
≠
k
2
[
A
]
0
(
1
−
e
−
k
1
t
−
k
1
t
e
−
k
1
t
)
+
[
B
]
0
(
1
−
e
−
k
1
t
)
+
[
C
]
0
otherwise
{\displaystyle \left[{\ce {C}}\right]={\begin{cases}\left[{\ce {A}}\right]_{0}\left(1+{\dfrac {k_{1}e^{-k_{2}t}-k_{2}e^{-k_{1}t}}{k_{2}-k_{1}}}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}\left(1-e^{-k_{2}t}\right)+\left[{\ce {C}}\right]_{0}&k_{1}\neq k_{2}\\\left[{\ce {A}}\right]_{0}\left(1-e^{-k_{1}t}-k_{1}te^{-k_{1}t}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}\left(1-e^{-k_{1}t}\right)+\left[{\ce {C}}\right]_{0}&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}
この方程式は定常状態近似によって簡単に解けるようになっている。
並行反応・競合反応 1つの物質から2種類の生成物が生まれる場合、並行反応または競合反応が起こっている。
2つの一次反応が起こっている場合
反応
A
⟶
B
{\displaystyle {\ce {A -> B}}}
A
⟶
C
{\displaystyle {\ce {A -> C}}}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
k
2
{\displaystyle k_{2}}
−
d
[
A
]
d
t
=
(
k
1
+
k
2
)
[
A
]
{\displaystyle -{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=(k_{1}+k_{2})[{\ce {A}}]}
d
[
B
]
d
t
=
k
1
[
A
]
{\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]}
d
[
C
]
d
t
=
k
2
[
A
]
{\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {A}}]}
と表される。
したがって、積分形の反応速度式は
[
A
]
=
[
A
]
0
e
−
(
k
1
+
k
2
)
t
{\displaystyle \ [{\ce {A}}]=[A]_{0}e^{-(k_{1}+k_{2})t}}
[
B
]
=
k
1
k
1
+
k
2
[
A
]
0
(
1
−
e
−
(
k
1
+
k
2
)
t
)
{\displaystyle [{\ce {B}}]={\frac {k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}[{\ce {A}}]_{0}(1-e^{-(k_{1}+k_{2})t})}
[
C
]
=
k
2
k
1
+
k
2
[
A
]
0
(
1
−
e
−
(
k
1
+
k
2
)
t
)
{\displaystyle [{\ce {C}}]={\frac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}[{\ce {A}}]_{0}(1-e^{-(k_{1}+k_{2})t})}
と表される。
この場合、
[
B
]
[
C
]
=
k
1
k
2
{\displaystyle {\frac {{\ce {[B]}}}{{\ce {[C]}}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}}
一次反応と二次反応が1つずつ起こっている場合
[8] これは2分子による反応と、擬一次反応とみなせる加水分解が同時に起こっている場合に適用できる。並行反応によって反応物が一部消費されるため、加水分解の反応速度を調べるのは難しい。例えば、AとRが反応してCが生成するが、同時に加水分解が進行してAがBに変わると言った場合である。反応式 で表せば、
A
+
H
2
O
⟶
B
{\displaystyle {\ce {{A}+ H2O -> B}}}
A
+
R
⟶
C
{\displaystyle {\ce {{A}+ R -> C}}}
d
[
B
]
d
t
=
k
1
[
A
]
[
H
2
O
]
=
k
1
′
[
A
]
{\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}{\ce {[A][H2O]}}=k_{1}'[{\ce {A}}]}
d
[
C
]
d
t
=
k
2
[
A
]
[
R
]
{\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}{\ce {[A][R]}}}
ただし
k
1
′
{\displaystyle k_{1}'}
主な生成物Cの濃度について積分すると、以下の式が得られる。
[
C
]
=
[
R
]
0
[
1
−
e
−
k
2
k
1
′
[
A
]
0
(
1
−
e
−
k
1
′
t
)
]
{\displaystyle [C]=[R]_{0}\left[1-e^{-{\frac {k_{2}}{k_{1}'}}[{\ce {A}}]_{0}(1-e^{-k_{1}'t})}\right]}
これは
l
n
[
R
]
0
[
R
]
0
−
[
C
]
=
k
2
[
A
]
0
k
1
′
(
1
−
e
−
k
1
′
t
)
{\displaystyle ln{\frac {\ce {[R]_{0}}}{\ce {[R]_{0}-[C]}}}={\frac {k_{2}[{\ce {A}}]_{0}}{k_{1}'}}(1-e^{-k_{1}'t})}
と等価である。
[B]と[C]の濃度の関係は次のようになっている。
[
B
]
=
−
k
1
′
k
2
l
n
(
1
−
[
C
]
v
[
R
]
0
)
{\displaystyle [{\ce {B}}]=-{\frac {k_{1}'}{k_{2}}}ln\left(1-{\frac {\ce {[C]}}{v}}{[R]_{0}}\right)}
これは解析的に得られた解であるが、次の近似が用いられている。
[
A
]
0
−
[
C
]
≈
[
A
]
0
{\displaystyle {\ce {{[A]_{0}}-[C]\approx [A]_{0}}}}
そのため、前の式における[C]は[C]が[A]0 に比べ非常に小さい時のみ使うことができる。
反応の量的ネットワーク 化学反応ネットワーク理論（英語版 ） の最も一般的な考え方は、
R
{\displaystyle R}
N
{\displaystyle N}
[9] [10]
j
{\displaystyle j}
s
1
j
X
1
+
s
2
j
X
2
…
+
s
N
j
X
N
→
k
j
r
1
j
X
1
+
r
2
j
X
2
+
…
+
r
N
j
X
N
,
{\displaystyle s_{1j}{\ce {X}}_{1}+s_{2j}{\ce {X}}_{2}\ldots +s_{Nj}{\ce {X}}_{N}{\ce {->[k_{j}]}}\ r_{1j}{\ce {X}}_{1}+\ r_{2j}{\ce {X}}_{2}+\ldots +r_{Nj}{\ce {X}}_{N},}
これは、上式と同値な下式で表されることも多い。
∑
i
=
1
N
s
i
j
X
i
→
k
j
∑
i
=
1
N
r
i
j
X
i
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}s_{ij}{\ce {X}}_{i}{\ce {->[k_{j}]}}\sum _{i=1}^{N}\ r_{ij}{\ce {X}}_{i}.}
ここで
j
{\displaystyle j}
R
{\displaystyle R}
X
i
{\displaystyle {\ce {X}}_{i}}
i
{\displaystyle i}
k
j
{\displaystyle k_{j}}
j
{\displaystyle j}
速度定数
s
i
j
{\displaystyle s_{ij}}
r
i
j
{\displaystyle r_{ij}}
この反応の反応速度は化学平衡の法則（英語版 ） から推測される。
f
j
(
[
X
→
]
)
=
k
j
∏
z
=
1
N
[
X
z
]
s
z
j
{\displaystyle f_{j}([{\vec {\ce {X}}}])=k_{j}\prod _{z=1}^{N}[{\ce {X}}_{z}]^{s_{zj}}}
これは単位時間・単位体積あたりの物質の変化量で表される。ここで、
[
X
→
]
=
(
[
X
1
]
,
[
X
2
]
,
⋅
⋅
⋅
,
[
X
N
]
)
{\displaystyle {\ce {[{\vec {X}}]=([X1],[X2],...,[X_{\mathit {N}}])}}}
ベクトル [要曖昧さ回避 である。ここで、この式が定義される反応は素反応である事に注意する。
零次反応
s
z
j
=
0
{\displaystyle s_{zj}=0}
z
{\displaystyle z}
一次反応
s
z
j
=
1
{\displaystyle s_{zj}=1}
z
{\displaystyle z}
二次反応
2分子の反応では2つの
z
{\displaystyle z}
s
z
j
=
1
{\displaystyle s_{zj}=1}
二量化 では
s
z
j
=
2
{\displaystyle s_{zj}=2}
z
{\displaystyle z}
それぞれについて次のように議論される。この時、それぞれの反応について反応の量的関係についての行列（stoichiometric matrix ）を定義することができる。
S
i
j
=
r
i
j
−
s
i
j
,
{\displaystyle S_{ij}=r_{ij}-s_{ij},}
これは
j
{\displaystyle j}
i
{\displaystyle i}
d
[
X
i
]
d
t
=
∑
j
=
1
R
S
i
j
f
j
(
[
X
→
]
)
.
{\displaystyle {\frac {d[{\ce {X}}_{i}]}{dt}}=\sum _{j=1}^{R}S_{ij}f_{j}([{\vec {\ce {X}}}]).}
ここで、これは反応の量的関係を表す行列と反応速度の関数の積である事に注意する。
系内で起こっている反応が可逆反応のみであり、反応が平衡状態にある場合、この方程式には簡単な解が存在する。（
d
[
X
i
]
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {d[{\ce {X}}_{i}]}{dt}}=0}
詳細釣り合い が成り立っている。ただし、詳細釣り合いは反応の量的行列
S
i
j
{\displaystyle S_{ij}}
f
j
{\displaystyle f_{j}}
代謝経路 を理解するために開発された流速均衡解析（英語版 ） によって研究されている。[11] [12]
一般的な1分子の変換反応についての動力学 一般的に、1分子が
N
{\displaystyle N}
t
{\displaystyle t}
X
1
(
t
)
{\displaystyle X_{1}(t)}
X
N
(
t
)
{\displaystyle X_{N}(t)}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
X
j
{\displaystyle X_{j}}
k
i
j
{\displaystyle k_{ij}}
k
i
j
{\displaystyle k_{ij}}
K
{\displaystyle K}
また、時間の関数として濃度のベクトル
X
(
t
)
=
(
X
1
(
t
)
,
X
2
(
t
)
,
.
.
.
,
X
N
(
t
)
)
T
{\displaystyle X(t)=(X_{1}(t),X_{2}(t),...,X_{N}(t))^{T}}
そして、ベクトル
J
=
(
1
,
1
,
1
,
.
.
.
,
1
)
T
{\displaystyle J=(1,1,1,...,1)^{T}}
さらに、
I
{\displaystyle I}
単位行列 とする。
また、
D
i
a
g
{\displaystyle Diag}
対角行列 を作り、その対角線上の成分があるベクトルの成分となっているものとする。
そして、
L
−
1
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
逆ラプラス変換 （英語版 ）とする。
この時
X
(
t
)
{\displaystyle X(t)}
X
(
t
)
=
L
−
1
[
(
s
I
+
D
i
a
g
(
K
J
)
−
K
T
)
−
1
X
(
0
)
]
{\displaystyle X(t)=\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[(sI+Diag(KJ)-K^{T})^{-1}X(0)]}
となる。
このようにして、初期状態と時刻
t
{\displaystyle t}
脚注
^ Peter Atkins 、Loretta Jones、Leroy Laverman 『アトキンス一般化学（下）』渡辺正 訳、東京化学同人 、2011年。ISBN 9784807908554 。 ^ IUPAC Gold Book definition of rate law IUPAC のCompendium of Chemical Terminology（英語版 ） も参照^ Peter Atkins 、Julio de Paula、Ronald Friedman 『アトキンス基礎物理化学（下）―分子論的アプローチ―』千原 秀昭・稲葉 章 訳、東京化学同人 、2011年。ISBN 9784807907519 。 ^ a b
『アトキンス基礎物理化学（下）―分子論的アプローチ』p.661
^ Walsh R, Martin E, Darvesh S. A method to describe enzyme-catalyzed reactions by combining steady state and time course enzyme kinetic parameters... Biochim Biophys Acta.（英語版 ） 2010 Jan;1800:1-5
^ a b c NDRL Radiation Chemistry Data Center [リンク切れ
。次のページも参照のこと。Christos Capellos and Bennon H. Bielski "Kinetic systems: mathematical description of chemical kinetics in solution" 1972, Wiley-Interscience (New York) Archived 2013年4月14日, at Archive.is
^ これを解いた例としては次のような文献がある。Determination of the Rotational Barrier for Kinetically Stable Conformational Isomers via NMR and 2D TLC An Introductory Organic Chemistry Experiment Gregory T. Rushton, William G. Burns, Judi M. Lavin, Yong S. Chong, Perry Pellechia, and Ken D. Shimizu J. Chem. Educ. 2007 , 84, 1499. Abstract
^ José A. Manso et al."A Kinetic Approach to the Alkylating Potential of Carcinogenic Lactones" Chem. Res. Toxicol.（英語版 ） 2005, 18, (7) 1161-1166
^ Heinrich, R. and Schuster, S. (1996) The regulation of cellular systems.チャップマン・アンド・ホール（英語版 ） 、ニューヨーク
^ Chen, L. and Wang, R. and Li, C. and Aihara, K. (2010) Modeling biomolecular networks in cells: structures and dynamics.シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア
^ Szallasi, Z. and Stelling, J. and Periwal, V. (2006) System modeling in cell biology: from concepts to nuts and bolts. MIT Press Cambridge.
^ Iglesias, P.A. and Ingalls, B.P. (2010) Control theory and systems biology. MIT Press Cambridge.
関連項目 
![{\displaystyle {\ce {[A]_0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9697f40eac0e29cf11c9e33aed6ea5e5f6118ad9)
![{\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {k_{f}}{k_{b}}}={\frac {\left[{\ce {B}}\right]_{e}}{\left[{\ce {A}}\right]_{e}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5acd07b8aa4cc4c75f64673f61f612ecfc26e642)
![{\displaystyle [{\ce {A}}]_{e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b862e2a4a3fafa60c497c86d0fbb454ad39ee61)
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![{\displaystyle [{\ce {B}}]_{e}=x={\frac {k_{f}}{k_{f}+k_{b}}}[{\ce {A}}]_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbe9b17b396e1fc225024ec7b6779bf93464c48)
![{\displaystyle \ [{\ce {A}}]_{e}=[{\ce {A}}]_{0}-x={\frac {k_{b}}{k_{f}+k_{b}}}[{\ce {A}}]_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6378543cb3f6d77d5bbde793cee06f934b2e9dd)
![{\displaystyle r={k_{1}[{\ce {A}}]^{s}[{\ce {B}}]^{t}}-{k_{2}[{\ce {X}}]^{u}[{\ce {Y}}]^{v}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb42ca1a9aae2680355e836fd86d366fa2b0bfa)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}&={k_{f}[{\ce {A}}]_{t}}-{k_{b}[{\ce {B}}]_{t}}\\-{\frac {dx}{dt}}&={k_{f}x}-{k_{b}[{\ce {B}}]_{t}}\\&={k_{f}x}-{k_{b}([{\ce {A}}]_{0}-x)}\\&={(k_{f}+k_{b})x}-{k_{b}[{\ce {A}}]_{0}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff3d91915e286de9c6d16f50111cdd53660e1d3)
![{\displaystyle k_{f}+k_{b}={k_{b}{\frac {{\ce {[A]_0}}}{x_{e}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b2d8785659880887bd156c60b63a4bb540c973)
![{\displaystyle \ {\frac {dx}{dt}}={\frac {k_{b}[{\ce {A}}]_{0}}{x_{e}}}(x_{e}-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b02f42979a6f3052bce206aeb311b7bda55334d)
![{\displaystyle \ln \left({\frac {[{\ce {A}}]_{0}-[{\ce {A}}]_{e}}{[{\ce {A}}]_{t}-[{\ce {A}}]_{e}}}\right)=(k_{f}+k_{b})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0b954ce99bea0274dd1badf3e39c8462479a4d)
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![{\displaystyle \left[{\ce {B}}\right]=\left[{\ce {A}}\right]_{0}{\frac {k_{f}}{k_{f}+k_{b}}}\left(1-e^{-\left(k_{f}+k_{b}\right)t}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}{\frac {1}{k_{f}+k_{b}}}\left(k_{f}+k_{b}e^{-\left(k_{f}+k_{b}\right)t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d69a1bd280520d21a5e093253fd32d2ea1ebf4)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=-k_{1}[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8a20f789248c22d7bc6dda260171a9bf1f930e)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}[{\ce {A}}]-k_{2}[{\ce {B}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5839f1ac807d0c6d8d517f8cdcf7a310153eeadb)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {B}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d37416fcf3bd237c8e013e8d6318339556b948b)
![{\displaystyle [{\ce {A}}]=[{\ce {A}}]_{0}e^{-k_{1}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28061afd2ade675f569dd254a353add433fea865)
![{\displaystyle \left[{\ce {B}}\right]={\begin{cases}\left[{\ce {A}}\right]_{0}{\dfrac {k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}\left(e^{-k_{1}t}-e^{-k_{2}t}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}e^{-k_{2}t}&k_{1}\neq k_{2}\\\left[{\ce {A}}\right]_{0}k_{1}te^{-k_{1}t}+\left[{\ce {B}}\right]_{0}e^{-k_{1}t}&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e01ff10e0cb8147755a4e047ac09852a01ed75)
![{\displaystyle \left[{\ce {C}}\right]={\begin{cases}\left[{\ce {A}}\right]_{0}\left(1+{\dfrac {k_{1}e^{-k_{2}t}-k_{2}e^{-k_{1}t}}{k_{2}-k_{1}}}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}\left(1-e^{-k_{2}t}\right)+\left[{\ce {C}}\right]_{0}&k_{1}\neq k_{2}\\\left[{\ce {A}}\right]_{0}\left(1-e^{-k_{1}t}-k_{1}te^{-k_{1}t}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}\left(1-e^{-k_{1}t}\right)+\left[{\ce {C}}\right]_{0}&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d76b587e3822d91ecb0509538cc1cb03714b3a0)
![{\displaystyle -{\frac {d[{\ce {A}}]}{dt}}=(k_{1}+k_{2})[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ba353a2dbdb81de9001d88dc304e30b7663985)
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![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b299b2242d9caff08c3d2f50d77a7898d9a3ccbb)
![{\displaystyle \ [{\ce {A}}]=[A]_{0}e^{-(k_{1}+k_{2})t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c37526077d0aa9f3cecac3a59b27626c39223a)
![{\displaystyle [{\ce {B}}]={\frac {k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}[{\ce {A}}]_{0}(1-e^{-(k_{1}+k_{2})t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e705045b2af4c5290874fdf73d7e1710abe091c5)
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![{\displaystyle {\frac {{\ce {[B]}}}{{\ce {[C]}}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456fc4b45044d3b638848253c55f4bf9da6f6bf2)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}=k_{1}{\ce {[A][H2O]}}=k_{1}'[{\ce {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10272bc300b4e2f62889a59e3d17d06ee9fe088)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {C}}]}{dt}}=k_{2}{\ce {[A][R]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7242ed16a8af29e2ac61a01794d2a0651fd22f)
![{\displaystyle [C]=[R]_{0}\left[1-e^{-{\frac {k_{2}}{k_{1}'}}[{\ce {A}}]_{0}(1-e^{-k_{1}'t})}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9698329d3d5d8119643f5af5a71fed97c567aa5)
![{\displaystyle ln{\frac {\ce {[R]_{0}}}{\ce {[R]_{0}-[C]}}}={\frac {k_{2}[{\ce {A}}]_{0}}{k_{1}'}}(1-e^{-k_{1}'t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7de9804f547ca0f19e9e883c1468e12ee6ec3d6)
![{\displaystyle [{\ce {B}}]=-{\frac {k_{1}'}{k_{2}}}ln\left(1-{\frac {\ce {[C]}}{v}}{[R]_{0}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07473f02dceb77311fcbc773b6d2702e928a92af)
![{\displaystyle {\ce {{[A]_{0}}-[C]\approx [A]_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c388f8f32daa7a145671582f60abbe30efd70f7)
![{\displaystyle s_{1j}{\ce {X}}_{1}+s_{2j}{\ce {X}}_{2}\ldots +s_{Nj}{\ce {X}}_{N}{\ce {->[k_{j}]}}\ r_{1j}{\ce {X}}_{1}+\ r_{2j}{\ce {X}}_{2}+\ldots +r_{Nj}{\ce {X}}_{N},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96763034e0ce0946790d669977de8277890c4bde)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}s_{ij}{\ce {X}}_{i}{\ce {->[k_{j}]}}\sum _{i=1}^{N}\ r_{ij}{\ce {X}}_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1159a8741f1bb485cfc5441f0b791dc9c3a8df4f)
![{\displaystyle f_{j}([{\vec {\ce {X}}}])=k_{j}\prod _{z=1}^{N}[{\ce {X}}_{z}]^{s_{zj}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c30f1163f533f924b5758bc9a25c9cfb62fc63d)
![{\displaystyle {\ce {[{\vec {X}}]=([X1],[X2],...,[X_{\mathit {N}}])}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6054f4082d47007c1260d3332dab7220f82c16a6)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {X}}_{i}]}{dt}}=\sum _{j=1}^{R}S_{ij}f_{j}([{\vec {\ce {X}}}]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3832148b04c6c43d16a062129878c1b9a31444a2)
![{\displaystyle {\frac {d[{\ce {X}}_{i}]}{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d296cf4c2577c9058061b5fb6883137cacf3221)
![{\displaystyle X(t)=\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[(sI+Diag(KJ)-K^{T})^{-1}X(0)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0929d715d65a0dfd51b38a77aa2d0771881764a7)
