位相幾何学的な証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
位相幾何学的には、（恒等変換でない）メビウス変換が 2-点を固定するという事実は χ ( C ^ ) = 2 , {\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2,} つまり、（リーマン）球面のオイラー標数が 2 であることに対応している。まず、射影線型群 PGL(2, K) の作用は単純 3-推移的である（3-点の順序三つ組がふたつ与えられれば、その一方を他方へ写す写像はただひとつメビウス変換として定まる）ことが代数的に（この群は 3-次元なので、本質的に次元の勘定（英語版）で）証明される。したがって、少なくともみっつの点を固定するようなメビウス変換は、恒等変換以外には無い。 つぎに、メビウス群は連結ゆえ任意のメビウス変換は恒等変換にホモトピックである。レフシェッツ-ホップの定理の述べるところによれば、高々有限個の不動点を持つ写像の不動点の指数（index; ここでは重複度のこと）の総和は写像のレフシェッツ数に等しい。この数はこの場合、ホモロジー群上の恒等写像のトレースであり、単純にオイラー標数と一致する。 これに対して、実数直線上の射影線型群 PGL(2, R) の作用は不動点を持つとは限らない。たとえば (1 + x)/(1 − x) は実数直線上に不動点を持たない（複素変換としてならば ±i を固定する）が、写像 2x は 0 と ∞ のふたつの点を固定する。これは円（実射影直線）のオイラー標数が 0 であり、したがってレフシェッツの不動点定理の主張が不動点の数は少なくとも 0 個なければならない（もちろん 0 個より多くてもよい）こと意味することに対応している。
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