中央値

統計学用語辞典

中央値（Me）

　測定値を小さい順に並べたとき，ちょうど真ん中にくる値である。分布の両端に大きな値や小さな値があっても影響されない（注）。
　有効ケース数を n，各ケースの測定値を Xi （ i = 1，2，… ，n ）とすると，以下の式で定義される。

　例題：「6 人の身長が 156.8，168.7，163.8，154.1，159.6，165.6 であった。中央値を求めよ。」
　解答：小さい順に並べると，154.1，156.8，159.6，163.8，165.6，168.7 になる。m = 6 / 2 = 3 ゆえ，3 番目と 4 番目のデータの平均値が中央値 Me である。よって Me = ( 159.6 + 163.8 ) / 2 = 161.7 である。


One more step!
　しかし，同点があるときには上の式を直接使うと不適切な場合がある。
　例題： 22 個の測定値がある。中央値を求めよ。
　　　測定値：1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5
　解答：定義からいえば，中央値は 3 であるが，もう少しましな推定値を求めよう。

1. まずデータ整理のために度数分布表を作る。

   測定値	度数	相対度数	累積度数	累積相対度数
   1	2	9.1	2	9.1
   2	4	18.2	6	27.3
   3	8	36.4	14	63.6
   4	6	27.3	20	90.9
   5	2	9.1	22	100.0
   合計	22	100.0

   
   
2. 定義からいえば，中央値より小さいものは全体の 50%，大きいものは 50% あることになる。しかし，中央値 = 3 としたとき，3 より小さいものは 27.3%，大きいものは 36.4% あることになる。中央値は 3 以上，4 未満の値であるに違いない。
   
3. 測定値 3 を持つ 8 個のデータは 2.5 以上，3.5 未満に 1 / 8 =　0.125 の間隔で均等に分布しているとすると，8 個のデータのもっともらしい値は，2.500，2.625，2.750，2.875，3.000，3.125，3.250，3.375 である。この中の 5 番目と 6 番目のデータの真ん中の値が中央値である。すなわち，Me = ( 3.000 + 3.125 ) / 2 = 3.0625 となる。確かに 3.0625 より小さいデータは 11 個になることが確かめられる。
   注意：真の値が 2.5 以上，3.5 未満のとき，四捨五入されて測定値 3 が得られると考えるところがポイント。しかし，8 個のデータがその範囲に均等に分布する保証があるのか？とか，もっともらしい値が 2.500 から始まるのか？ということをつつけば問題もある。

　以上のことを一般化すると，以下のようになる。
　l を中央値のある級間の下限点，F を l 以下の累積度数，fm を中央値のある級間の度数，h を級間の幅として，比例配分により次式を得る。


　例題では，n = 22，l = 2.5，F = 6，fm = 8，h = 1 ゆえ，Me = 3.125 となる。
　注意：先の例では，Me = 3.0625 であった。これは，8 つの同値のデータが下図の●のように分布しているとしたものである。しかし，▲のように分布していると考える方が一般的かもしれない。このようにすると▲は●より 0.125/2 = 0.0625 大きい方向へずれている。従って，得られる中央値も，Me = (3.0625+3.1876)/2=3.125 となり，上式による結果と一致する。