一次反応速度式の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/18 03:26 UTC 版)
一次反応速度式を積分すると次のようになる。 ln [ A ] = − k t + ln [ A ] 0 {\displaystyle \ \ln {[A]}=-kt+\ln {[A]_{0}}} これは通常次のように指数減少関数として表記される。 A = A 0 e − k t {\displaystyle A=A_{0}e^{-kt}\,} この式の異なる表記方法として以下のようなものがある。これらは同値である。 A = A 0 ( e − k Δ t p ) n {\displaystyle A=A_{0}\left(e^{-k\Delta t_{p}}\right)^{n}} ここで、 Δ t p {\displaystyle \Delta t_{p}} はある一定の時間であり、 n {\displaystyle n} は時間の区間の数を表す整数である。区間の最初の反応物の濃度 f R P {\displaystyle f_{RP}} に対して、各時間の区間の終わりの濃度の比は A n A n − 1 = f R P = e − k Δ t p {\displaystyle {\frac {A_{n}}{A_{n-1}}}=f_{RP}=e^{-k\Delta t_{p}}} と表せる。 そして、 n {\displaystyle n} 回の区間が過ぎた後、初期濃度に対するその時の反応物の濃度の割合は A A 0 ≡ A n A 0 = ( e − k Δ t p ) n = ( f R P ) n = ( 1 − f B P ) n {\displaystyle {\frac {A}{A_{0}}}\equiv {\frac {A_{n}}{A_{0}}}=\left(e^{-k\Delta t_{p}}\right)^{n}=\left(f_{RP}\right)^{n}=\left(1-f_{BP}\right)^{n}} となる。ここで、 f B P {\displaystyle f_{BP}} はそれぞれの区切りの中で反応する反応物の割合である。この方程式は反応物の全物質量に対して各区間ごとに反応する物質の割合は、初期濃度とは関係がないことを示している。半減期（ Δ t p = ln ( 2 ) / k {\displaystyle \Delta t_{p}=\ln(2)/k} ）に等しい時刻では、反応した物質量は初期濃度のちょうど1/2である。 各区間ごとの平均反応速度nthは次式で与えられる。 r a v g , n = − Δ A Δ t p = A n − 1 − A n Δ t p {\displaystyle r_{\mathrm {avg} ,n}=-{\frac {\Delta A}{\Delta t_{p}}}={\frac {A_{n-1}-A_{n}}{\Delta t_{p}}}} ゆえに、区間の終わりに残っている反応物の濃度は次の区間での平均反応速度や区間の始まりでの反応物の濃度に関わってくる。関係式は以下の通り。 A n = A n − 1 − r a v g , n Δ t p {\displaystyle A_{n}=A_{n-1}-r_{\mathrm {avg} ,n}\Delta t_{p}} よって、それぞれの区間で反応する物質の割合は次のように表すことができる。 f B P = 1 − A n A n − 1 {\displaystyle f_{BP}=1-{\frac {A_{n}}{A_{n-1}}}} その区間で反応する反応物の割合はその区間での平均反応速度に関わってくる。関係式は以下の通り。 f B P = r a v g , n Δ t p A n − 1 {\displaystyle f_{BP}={\frac {r_{\mathrm {avg} ,n}\Delta t_{p}}{A_{n-1}}}} 各区間の終わりに残っている反応物の割合はその区間の初めに残っていた反応物の割合と関係がある。関係式は以下の通り。 A n = A n − 1 ( 1 − r a v g , n Δ t p A n − 1 ) {\displaystyle A_{n}=A_{n-1}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {avg} ,n}\Delta t_{p}}{A_{n-1}}}\right)} この漸化式は各区間ごとの平均反応速度が分かれば、任意の時刻での反応物の濃度を求めることができるということを示している。
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