レート方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/17 07:06 UTC 版)
「量子カスケードレーザー」の記事における「レート方程式」の解説
QCLは通常、3準位系を基礎とする。波動関数の形成が状態間の散乱と比較して十分速い過程であると仮定すると、非時間依存シュレーディンガー方程式の解として与えられる準位間の、遷移速度をレート方程式により記述することで系をモデル化することができる。各サブバンド間は寿命 τ i f {\displaystyle \tau _{if}} (平均サブバンド間の散乱速度 W i f {\displaystyle W_{if}} の逆数、 i {\displaystyle i} と f {\displaystyle f} は始状態と終状態を指定する添字）で散乱され、各サブバンドの占有電子数は n i {\displaystyle n_{i}} （ i {\displaystyle i} はサブバンドを指定する添字）、サブバンドは3準位のみとすると、次のレート方程式を得る。 d n 3 d t = I i n + n 1 τ 13 + n 2 τ 23 − n 3 τ 31 − n 3 τ 32 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} n_{3}}{\mathrm {d} t}}=I_{\mathrm {in} }+{\frac {n_{1}}{\tau _{13}}}+{\frac {n_{2}}{\tau _{23}}}-{\frac {n_{3}}{\tau _{31}}}-{\frac {n_{3}}{\tau _{32}}}} d n 2 d t = n 3 τ 32 + n 1 τ 12 − n 2 τ 21 − n 2 τ 23 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} n_{2}}{\mathrm {d} t}}={\frac {n_{3}}{\tau _{32}}}+{\frac {n_{1}}{\tau _{12}}}-{\frac {n_{2}}{\tau _{21}}}-{\frac {n_{2}}{\tau _{23}}}} d n 1 d t = n 2 τ 21 + n 3 τ 31 − n 1 τ 13 − n 1 τ 12 − I o u t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} n_{1}}{\mathrm {d} t}}={\frac {n_{2}}{\tau _{21}}}+{\frac {n_{3}}{\tau _{31}}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{13}}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{12}}}-I_{\mathrm {out} }} 定常状態において、時間微分は0に等しく I i n = I o u t = I {\displaystyle I_{\mathrm {in} }=I_{\mathrm {out} }=I} である。N準位系に一般化した定常状態レート方程式は次のように得られる。 d n i d t = 0 = ∑ j = 1 N n j τ j i − n i ∑ j = 1 N 1 τ i j + I ( δ i N − δ i 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} n_{i}}{\mathrm {d} t}}=0=\sum \limits _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}}{\tau _{ji}}}-n_{i}\sum \limits _{j=1}^{N}{\frac {1}{\tau _{ij}}}+I(\delta _{iN}-\delta _{i1})} 吸収過程は無視できる、すなわち n 1 τ 12 = n 2 τ 23 = 0 {\displaystyle {\frac {n_{1}}{\tau _{12}}}={\frac {n_{2}}{\tau _{23}}}=0} と仮定すると、中段のレート方程式より次の等式を得る。 n 3 τ 32 = n 2 τ 21 {\displaystyle {\frac {n_{3}}{\tau _{32}}}={\frac {n_{2}}{\tau _{21}}}} よって τ 32 > τ 21 {\displaystyle \tau _{32}>\tau _{21}} (すなわち W 21 > W 32 {\displaystyle W_{21}>W_{32}} ) のとき n 3 > n 2 {\displaystyle n_{3}>n_{2}} となり、反転分布が存在する。分布比は n 3 n 2 = τ 32 τ 21 = W 21 W 32 {\displaystyle {\frac {n_{3}}{n_{2}}}={\frac {\tau _{32}}{\tau _{21}}}={\frac {W_{21}}{W_{32}}}} になる。N個の定常状態速度式を全て足し合わせると両辺が恒等的に0となる自明な式が得られるため、この方程式系は劣決定系（英語版）であることがわかる。すなわち、これらの式のみからはサブバンドの相対的な分布を見つけることしかできない。各サブバンドにおけるキャリアの絶対分布は、系の総キャリア面密度 N 2 D = ∑ i = 1 N n i {\displaystyle N_{\mathrm {2D} }=\sum \limits _{i=1}^{N}n_{i}} が既知の場合のみこれを用いて導くことが可能である。近似的には、系内のすべてのキャリアがドープにより供給されると仮定することができる。もしドーパント種のイオン化エネルギーが無視できる場合、 N 2 D {\displaystyle N_{\mathrm {2D} }} はドープ密度にほぼ等しくなる。
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