ラグランジュ方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/14 01:15 UTC 版)
ラグランジュ方程式から運動方程式を導出することもできる。前掲の図のように、θ(t) を長さ ℓ の振り子の直立位置からの変位角とし、作用する力は重力および x 方向への外力 F とする。 x(t) を台車の位置と定義すると、系のラグランジアン L = T − V は以下のように書ける。 L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − m g ℓ cos θ {\displaystyle L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta } ここで v1 は台車の速度、 v2 は質量 m の質点の速度とする。v1 および v2 は x と θ の導関数を用いて次のように書ける。 v 1 2 = x ˙ 2 {\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}} v 2 2 = ( d d t ( x − ℓ sin θ ) ) 2 + ( d d t ( ℓ cos θ ) ) 2 {\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}} v2 の表式を展開すると以下のようになる。 v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos θ + ℓ 2 θ ˙ 2 {\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}} すると、ラグランジアンは次のように書ける。 L = 1 2 ( M + m ) x ˙ 2 − m ℓ x ˙ θ ˙ cos θ + 1 2 m ℓ 2 θ ˙ 2 − m g ℓ cos θ {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta } ここで、オイラー・ラグランジュの運動方程式は次の表式である。 d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \partial x}=F} d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0} この方程式系における L に上の表式を代入すると、倒立振子の運動を記述する方程式系が次のように得られる。 ( M + m ) x ¨ − m ℓ θ ¨ cos θ + m ℓ θ ˙ 2 sin θ = F {\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F} ℓ θ ¨ − g sin θ = x ¨ cos θ {\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta } この方程式系は非線形であるが、制御系の目標は振り子を直立に保つことなので、θ ≈ 0 近傍で線形化することが多い。
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