ポアンカレの分類

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ポアンカレの分類

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 21:49 UTC 版)

「平衡点」の記事における「ポアンカレの分類」の解説

アンリ・ポアンカレは、次のような2次元自励線形微分方程式の平衡点を、平衡点近傍の解軌道の振る舞いにもとづき分類した。 { d x d t = a x + b y d y d t = c x + d y この場合、原点 xe = o が常に平衡点である。この系の係数行列を A = ( a b c d ) とし、A の固有値を λ1 および λ2 とする。 λ1 と λ2 の値によって、平衡点 xe は次のように分類される。 平衡点の分類 結節点（安定結節点） 結節点（安定結節点、スターノード） 結節点（不安定結節点） 結節点（不安定結節点、スターノード） 鞍状点 渦状点（渦状沈点） 渦状点（渦状源点） 渦心点 結節点、あるいはノード（英語: node） λ1 と λ2 が同符号の実数である（λ1, λ2 < 0 または λ1, λ2 > 0）場合の平衡点。平衡点が結節点のとき、平衡点の周囲の解軌道は、平衡点に向かって回転せずに単調に近づいていくか離れていくかのいずれかである。λ1 と λ2 の符号が負であれば解軌道は平衡点へ近づいていき、結節点は漸近安定な沈点でもある。この場合は安定結節点や安定ノードと呼ばれる。λ1 と λ2 の符号が正であれば解軌道は平衡点から離れていき、結節点は不安定な源点でもある。この場合は不安定結節点や不安定ノードと呼ばれる。とくに、λ1 = λ2 かつ b = c = 0 であるときは、結節点の周囲の解軌道は結節点を通る放射状の直線群となり、スターノードなどと呼ばれる 鞍状点、鞍点、あるいはサドル（英語: saddle） λ1 と λ2 が互いに異符号の実数である（λ1 > 0, λ2 < 0 または λ1 < 0, λ2 > 0）場合の平衡点。平衡点が鞍状点のとき、周囲の解軌道には平衡点に向かって近づいていく方向と離れていく方向が同居している。鞍状点の場合、4本の半直線の解軌道が平衡点へ到達する。2本は t → ∞ で鞍状点へ収束し、もう2本は t → −∞ で鞍状点へ収束する。 渦状点、スパイラル（英語: spiral）、焦点、あるいはフォーカス（英語: focus） λ1 と λ2 が互いに共役な実部非零の複素数である（λ1 = α + βi, λ2 = α − βi かつ α ≠ 0）場合の平衡点。平衡点が鞍状点のとき、周囲の解軌道は対数螺旋群となり、平衡点へ回転しながら近づいていくか離れていくかのいずれかである。固有値実部 (α) の符号が負であれば解軌道は平衡点へ近づいていき、渦状点は漸近安定な沈点でもある。この場合は渦状沈点、安定スパイラル、安定焦点と呼ばれる。固有値実部 (α) の符号が正であれば解軌道は平衡点から離れていき、渦状点は不安定な源点でもある。この場合は渦状源点、不安定スパイラル、不安定焦点と呼ばれる。 渦心点、あるいはセンター（英語: center） λ1 と λ2 が互いに共役な純虚数である（λ1 = βi, λ2 = −βi）場合の平衡点。平衡点が渦心点のとき、周囲の解軌道は平衡点を中心とする円（閉曲線）群である。周囲の解軌道は吸引されることも反発することもなく、渦心点は中立安定な平衡点である。 また、A の行列式を q = det A とし、A のトレースを p = tr A とする。これらは q = a d − b c = λ 1 λ 2 p = a + d = λ 1 + λ 2 というように各係数あるいは各固有値で表される。したがって、これらの q と p の値によっても平衡点の定性的分類を行うことができ、結節点、鞍状点、渦状点、渦心点の判別は次のようになる。 q < 0 であれば、平衡点は鞍状点 q > 0 でかつp2 > 4q であれば、平衡点は結節点 p2 < 4q かつ p ≠ 0 であれば、平衡点は渦状点 p = 0 であれば、平衡点は渦心点 以上のような平衡点の定性的分類を p と q を軸とする pq-平面に書き込むと、2次元線形微分方程式の分岐図を作ることができる。