ポアンカレdisc/ballモデルとメビウス加算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/08 21:20 UTC 版)
「ジャイロベクトル空間」の記事における「ポアンカレdisc/ballモデルとメビウス加算」の解説
複素平面における開単位円板のメビウス変換は次の極座標分解で与えられる。 z → e i θ a + z 1 + a z ¯ {\displaystyle z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}} which defines the Möbius addition a ⊕ M z = a + z 1 + a z ¯ {\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}} これは e i θ ( a ⊕ M z ) {\displaystyle e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}} と表すことができる。ただし、ここで導入した演算 a ⊕ M z = a + z 1 + a z ¯ {\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}} がメビウス加算である。これを高次元に拡張すると、複素数は平面 R 2 {\displaystyle \mathbf {\mathrm {R} } ^{2}} 上のベクトルとなり、メビウス加算は次のようにベクトルの形で書き直される。 u ⊕ M v = ( 1 + 2 s 2 u ⋅ v + 1 s 4 | v | 2 ) u + ( 1 − 1 s 2 | u | 2 ) v 1 + 2 s 2 u ⋅ v + 1 s 4 | u | 2 | v | 2 {\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}} これは、s=1のポワンカレ球体模型のベクトルの加算を任意のs>0に対してしたものである。
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