ボルスクウラムの定理とは？わかりやすく解説

ボルスク・ウラムの定理（ボルスク・ウラムのていり、英: Borsuk–Ulam theorem）とは、スタニスワフ・ウラムが定式化し、カロル・ボルスクが最初に証明したトポロジーの定理の一つである。

定理

ボルスク・ウラムの定理 ― $n$ 次元球面 $S n$ から $n$ 次元ユークリッド空間 $R n$ への任意の連続関数 $f : S n \to R n$ に対してある $x \in S n$ が存在して、 $f (x) = f (- x)$ となる^{[注 1]}。

$n = 1$ の場合は地球を考えることで説明することができる。則ち地球の赤道上には正反対に位置していて気温が等しいようなある2点が存在している。同様の説明はどのような円周においても成立する。ただし空間において気温が連続的であることを仮定している^[1]。

$n = 2$ の場合は連続写像として気温と気圧の組を採用して、地球上には正反対に位置していて気温と気圧の両方がそれぞれ一致するある2点が存在すると説明される。

同値な主張

奇写像

定義域の任意の $x$ に対して $g (- x) = - g (x)$ が成立する写像 $g$ を奇写像^[2]という。ボルスク・ウラムの定理は次の各命題と同値である^[3]。

連続な奇写像 $S n \to R n$ は零点を持つ。
$S n \to S n - 1$ に対して連続な奇写像は存在しない。

命題1との同値性は次のようにして証明される。

（⇒）ボルスク・ウラムの定理が奇写像 $g$ について成り立つとする。 $g (- x) = g (x)$ となるのは $g (x) = 0$ となるときに限る。したがって任意の連続な奇写像は零点を持つ。

（⇐）任意の連続写像 $f : S n \to R n$ について、写像 $g (x) = f (x) - f (- x)$ は連続な奇写像である。命題1より任意の奇写像は零点を持つので $g (x) = 0$ となる $x$ が存在して $f (x) = f (- x)$ 。

1と2の同値性の証明には奇写像的性質を持つ次の連続写像を考える。

包含写像 $i : Sn − 1 → Rn\{0}$
$x \to x / | x |$ によって与えられる射影 $p : Rn\{0} → Sn − 1$

（1 ⇒ 2）連続な奇写像 $f : S n \to S n - 1$ が存在するならば、 $i∘f : Sn → Rn\{0}$ は零点を持たない連続な奇写像となる。対偶が真なのでもとの命題も真である。

（1 ⇐ 2）同じく対偶を証明する。零点を持たない連続な奇写像 $f : Sn → Rn\{0}$ が存在するならば、 $p \circ f : S n \to S n - 1$ は連続な奇写像となる。

タッカーの補題

後述するようにタッカーの補題（英語版）を用いて定理を証明することができるが、その逆、つまりボルスク・ウラムの定理からタッカーの補題を導くこともできる。不動点定理には代数的位相幾何学、組合せ論、集合被覆論による同値な表現が存在するものがある。各形式で全く異なる証明ができる。更に、各列の下の命題から同じ列の上の行の命題を演繹することができる^[4]。

代数的位相幾何学	組合せ論	集合被覆論
ブラウワーの不動点定理	スペルナーの補題（英語版）	クナスター-クラトフスキ-マズルケヴィッチの補題（英語版）
ボルスク・ウラムの定理	タッカーの補題（英語版）	ルステルニク-シュニレルマンの定理（英語版）

証明

1次元

円周上で $g (x) = f (x) - f (- x)$ として定義され、実数値をとる連続な奇写像 $g$ を考える。点 $x$ について、 $g (x) = 0$ ならばそのまま定理が満たされる。そうでないならば、 $g$ が奇写像であることより $g (x) > 0$ としても一般性を失わず、このとき $g (x) > 0 > g (- x)$ と中間値の定理よりある点 $y$ で $g (y) = 0$ 。よって点 $y$ で $f (y) = f (- y)$ 。

$n = 2$ のときは被覆の理論を使うことで処理できる。

一般の場合

代数的位相幾何学的証明

$n > 2$ の場合において、連続な奇写像 $h : S n \to S n - 1$ の存在を仮定する。対蹠点に写す作用の軌道を通じて、実射影空間（英語版）間における誘導された連続写像 $h' : RP n \to RP n - 1$ を得る。この写像は基本群上で同型写像を誘導する。フレヴィッチの定理より、二元体（英語版） $F 2$ を係数に持つコホモロジー上で、誘導された（英語版）環準同型写像

$\mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n}$

2人の泥棒が、2色の宝石のビーズでできたネックレス（赤が8個、緑が6個）を分け合う。このとき2回の切断でビーズを均等に分配できる。

ネックレスを奪う泥棒が2人いる。ネックレスは4つの種類の宝石のビーズで出来ている。各種類の宝石が偶数個あったとする。2人で均等に分けたい時、なるべくネックレスを少ない切断で均等に分けたい。4つの種類の宝石がある場合、それは最低で4つの切断で均等に分けることができる。そして、切った物を上と下に分けて泥棒1は上にある均等に分けられた宝石を、泥棒2は下の均等に分けられた宝石をもらう。ここで、 $n$ 種類の宝石があり、 $n$ 回の切断をしても公平に分けることができるのか。

これがネックレス問題（英語版）であるが、この節ではボルスク・ウラムの定理で証明する。ネックレス問題は離散的、ボルスク・ウラムの定理は連続的であるので、一見するとネックレス問題とボルスク・ウラムの定理には関係がないと思える。そのためにまずはネックレス問題の連続的なバージョンを考える。そして、連続の場合を調整することで離散の問題を解決できる。

簡単のために2種類の宝石があるネックレスを考える。そしてそれらを長さ1の線分として考え、3つの切断で公平に分けられるとき、分けられた宝石群の1つ目を $a$ 、2つ目を $b$ 、3つ目を $c$ とする場合、それらは $a + b + c = 1$ を満たす正の数でなければならない。また、 $a, b, c$ についてそれぞれ泥棒1と泥棒2のどちらの取り分になるかを選ばないといけない。ここで話を変え、単位球面 $x 2 + y 2 + z 2 = 1$ にある点の座標を考える。 $x 2, y 2, z 2$ の平方根の正負と、泥棒1と泥棒2の取り分を対応させる。泥棒1が受け取る宝石の種類別の個数を出力する写像を $f$ とする。ボルスク・ウラムの定理を使って、ある $(x, y, z)$ で $f (x, y, z) = f (- x, - y, - z)$ となるはずなので、泥棒1と泥棒2の取り分を入れ替えても取り分の変わらない分け方が存在する。なので、公平に分ける方法は必ずあるということになる^[10]。

球の被覆

3つの集合で2次元球面を覆うとき、対蹠点の組を含むような集合が存在する ( $n = 2$ )。

→「ルステルニク-シュニレルマンの定理（英語版）」および「ボルスク問題（英語版）」も参照

右図のように2次元球面を3つの閉集合で覆うとき、対蹠点の組を含むような集合が存在する。一般に $n$ 次元球面を $n + 1$ 個の集合で覆うとき、対蹠点の組を含むような集合が存在する^[11]。

2次元球面を3つの集合 $A, B, C$ で覆う。 $x \in S 2$ について集合 $A$ と点 $x$ の距離を $dA (x)$ のように表し、写像 $f$ を $f (x) = (dA (x), dB (x))$ と定める。ボルスク・ウラムの定理より $f (x) = f (- x)$ となる点 $x$ が存在する。 $dA (x), dB (x)$ のうちいずれかが0を取るとき、 $x, - x$ は0となる方の集合に属する。 $dA (x), dB (x)$ のいずれも0でないときは $C$ に属する。したがって対蹠の位置にある2点を含む集合の存在が証明される。

$n + 2$ 個の集合で覆う場合、対蹠の位置にある2点を含む集合が必ず存在するとは限らない。たとえば $n = 2$ の場合を考える。球に正四面体を外接させる。正四面体の面上の点と球の中心を結ぶ線分と球面の交点について、正四面体の4つの面に即して4つの集合に分ける。すると、いずれの集合も対蹠点の組は含まれていない。

ボルスクはどの集合の直径（英語版）も球の直径より小さくなるように $n$ 次元球体を分割するとき、 $n$ 個の集合では不可能だが $n + 1$ 個の集合では分割が実現できることを示した。また、一般に任意の $E n$ の有界部分集合について同様に分割するとき、集合は $n + 1$ 個で十分かという問題を提起した^[12]。これはボルスク問題（英語版）と呼ばれ、 $n \geq 64$ では誤りであると証明されている。 $n$ の最小値を求める問題は未解決である。

一般化

元の定理では、写像 $f$ の定義域は $n$ 次元単位球面であった。一般に $f$ の定義域が $R n$ の原点を含む任意の開有界対称部分集合の境界であっても成立する（ここで対称とは、部分集合の中に $x$ が存在するとき、対蹠点 $- x$ も存在することを指す）^[13]。
より一般に $M$ をコンパクト $n$ 次元リーマン多様体、 $f : M \to R n$ を連続写像としたとき、 $f (x) = f (y)$ かつ $x, y$ が距離 $δ > 0$ （ $δ$ は任意に定められる）で結べるような2点 $x, y$ が存在する^[14]^[15]。
点をその対蹠点に移す写像 $A (x) = - x$ は、対合 ( $A (A (x)) = x$ ) のような性質を持つ。元の定理は $f (A (x)) = f (x)$ となる点 $x$ の存在を主張しているが、より一般に $A (A (x)) = x$ を満たす $A$ について同様の定理が成立する^[16]。一方で、 $A (A (x)) \neq x$ となる $A$ では成立しない^[17]。

歴史

Matoušek (2003, p. 25) によればボルスク・ウラムの定理の主張の最初の歴史的言及は Lyusternik & Shnirel'man (1930) で見られる。最初の証明は Karol Borsuk (1933) によってなされ、定理の定式化はスタニスワフ・ウラムに帰される。それ以来様々な別証明が発見され、Steinlein (1985) にまとめられている。

脚注

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注釈

^ $x = (x 1, x 2,..., x n + 1) \in S n$ に対して $- x = (- x 1, - x 2,...,- x n + 1)$ を対心点（英語版）あるいは対蹠点という。

出典

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^ 長崎, 生光「等変HOPF型定理へ向けての一考察」『数理解析研究所講究録』第1612巻、2008年、101-110頁。
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参考文献

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Steinlein, H. (1985). “Borsuk's antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey. Méthodes topologiques en analyse non linéaire”. Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.) 95: 166–235.
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外部リンク

[1] $x = (x 1, x 2,..., x n + 1) \in S n$ に対して $- x = (- x 1, - x 2,...,- x n + 1)$ を対心点（英語版）あるいは対蹠点という。

[:0-2] Jha, Aditya; Campbell, Douglas; Montelle, Clemency; Wilson, Phillip L. (2023-07-30). “On the Continuum Fallacy: Is Temperature a Continuous Function?” (英語). Foundations of Physics 53 (4): 69. Bibcode: 2023FoPh...53...69J. doi:10.1007/s10701-023-00713-x. hdl:1721.1/152272. ISSN 1572-9516.

[3] 長崎, 生光「等変HOPF型定理へ向けての一考察」『数理解析研究所講究録』第1612巻、2008年、101-110頁。

[prescott2002-4] Prescott, Timothy (2002). Extensions of the Borsuk–Ulam Theorem (BS). Harvey Mudd College. CiteSeerX 10.1.1.124.4120.

[5] Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), “A Borsuk–Ulam equivalent that directly implies Sperner's lemma”, The American Mathematical Monthly 120 (4): 346–354, doi:10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, MR 3035127

[rotman-6] Joseph J. Rotman (1988). “12”. An Introduction to Algebraic Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96678-1

[7] 原, 靖浩「Borsuk‐Ulam の定理の一般化とその組合せ論への応用」『数理解析研究所講究録』第2098巻、2018年、83-88頁、 ISSN 18802818。

[FreundTodd1982-8] Freund, Robert M.; Todd, Michael J. (1982). “A constructive proof of Tucker's combinatorial lemma”. Journal of Combinatorial Theory. Series A 30 (3): 321–325. doi:10.1016/0097-3165(81)90027-3.

[SimmonsSu2003-9] Simmons, Forest W.; Su, Francis Edward (2003). “Consensus-halving via theorems of Borsuk–Ulam and Tucker”. Mathematical Social Sciences 45: 15–25. doi:10.1016/s0165-4896(02)00087-2. hdl:10419/94656.

[10] Dougherty, Jackson (2017年9月25日). “Some applications of the Borsuk-Ulam Theorem” (英語). Math REU University of Chicago. pp. 4-5. 2025年8月30日閲覧。

[11] 3Blue1BrownJapan (2022年5月20日). “「ボルスク・ウラムの定理とネックレス問題」”. YouTube. 2025年8月29日閲覧。

[FOOTNOTEHatcher200133-12] Hatcher 2001, p. 33.

[FOOTNOTEBorsuk1933-13] Borsuk 1933.

[14] “Borsuk fixed-point theorem”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994], Borsuk fixed-point theorem - ウェイバックマシン（2022年4月7日アーカイブ分）

[15] Hopf, H. (1944). “Eine Verallgemeinerung bekannter Abbildungs-und Überdeckungssätze”. Portugaliae Mathematica.

[16] Malyutin, A. V.; Shirokov, I. M. (2023). “Hopf-type theorems for f-neighbors”. Sib. Èlektron. Mat. Izv 20 (1): 165–182.

[17] Yang, Chung-Tao (1954). “On Theorems of Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo and Dyson, I”. Annals of Mathematics 60 (2): 262–282. doi:10.2307/1969632. JSTOR 1969632.

[18] Jens Reinhold, Faisal. “Generalization of Borsuk-Ulam”. Math Overflow. 2015年5月18日閲覧。

[注 1]

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ボルスクウラムの定理とは？ わかりやすく解説