タングル

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タングル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 06:39 UTC 版)

数学の分野において、タングル (tangle) は結び目の一部分を切り取って得られるような幾何的対象のことである。通常次の二種類のいずれかを指す。

• ある 2次元球面で切り取って得られるもの。以下のタングル(1)。
• 平行な二つの平面で切り取って得られるもの。以下のタングル(2)。

これらは共に「境界付き 3次元多様体に埋め込まれた、 1次元の(境界付き)多様体」とみなせるが、これら二種類のタングル(もしくはその一般化)が統一的に扱われることはないようである。

タングル(1)

n-タングル (n-tangle)とは、交わらない n 本の(両端のある)曲線の 3次元球への適切な埋め込みのことである。各曲線の各端点は 3次元球の境界にあらかじめ指定された 2n 個の点のいずれかに写されなければならない。二つの n -タングルは、片方のタングルを他方に移す、境界を固定する全同位が存在するときに同値であるとする。タングルの理論は結び目理論の類似としてとらえられるが、閉曲線の代わりに端点が固定された紐を扱うというところが異なっている。

タングルはジョン・ホートン・コンウェイによって導入された。

タングルの表示

一般性を失うことなしに、(タングルの端点が写る)3次元球の境界上の指定された点はある大円上にあると仮定してよい。タングルは、この大円を境界とする平らな円盤への射影が一般的な位置となるように変形することができ、射影図に交差の上下の情報を加えたものを(結び目の正則表示のように) (正則)表示と呼ぶ。

タングル(の表示)は結び目や絡み目の表示の中にしばしば現れ、絡み目を構成するブロックとして使われることもある。(例：モンテシーノス絡み目)

有理タングルと代数的タングル

有理タングル(rational tangle)とは 2-タングルであって、自明な 2-タングル(交差を持たないタングル)と同相なもののことを言う。通常、その四つの端点は方位からの類推で NE(北東)、NW(北西)、SW(南西)、SE(南東) と呼ばれる。

有理タングルの任意の表示をとると、それはとても複雑に見えるが、実は単純な表示がある。まず水平[resp. 垂直]な二本の曲線を持つタングルの表示を考え、それに「ひねり」を追加する。即ち NE と SE [resp. SW と SE] の端点を入れ替えることによって交差を一つ追加する。これらの操作を繰り返すことによって有理タングルの表示が得られる。ちなみに上記の操作の際、ひねりを加えた端点に近いところだけが変化し、それ以外の部分は変化しないとしてよい。

有理タングルのこのような表示を、端点同士を連続してひねった数の組として記述することができる。例えば (-2,1,3) という数の組は、水平な二本の曲線からなるタングル表示から始めて、まず NE/SE の端点を 2回ひねり、次に SW/SE の端点を 1回ひねり、そして NE/SE の端点を 3回、前回とは逆方向にひねってできる表示を表している。数の組が 0 から始まっている場合、二本の垂直な曲線からなるタングルから始めることにする。すると水平な二本の曲線からなるタングル表示は (0) と表せるが、垂直な二本の曲線からなるタングル表示は (0,0) となる。この約束は「正」「負」のひねりを記述するのに必要だ。 しばしばここまで説明してきたような数の組を指して、「有理タングル」と呼ぶこともある。

有理タングル $(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )$

$\alpha$

結び目8₄の2重性並行表示 結び目8₄の重み付き3-正則平面グラフ 結び目8₂₀の2重性並行表示 結び目8₂₀の重み付き3-正則平面グラフ

なお，重み付き3-正則平面グラフとしての $\alpha$

$\alpha$-タングルのグラフ(辺) $\beta$-タングルのグラフ(辺) $\gamma$-タングルのグラフ(辺) $\delta$-タングルのグラフ(頂点)

3交点から11交点までの結び目および絡み目の2重性並行表示と重み付き3-正則平面グラフが， The Knot Atlasに掲載されている。 また，別の報告で，3-正則平面グラフの全域木を用いて結び目を構成する方法の記述もある。

参考文献

• C. C. アダムス著 金信泰造訳 『結び目の数学』 培風館 1998年 ISBN 4-563-00254-2 (Colin C. Adams, The Knot Book, American Mathematical Society, ISBN 0-8050-7380-9).
• L. H. カウフマン著 鈴木 晋一、河内 明夫監訳 『結び目の数学と物理』 培風舘 1995年 ISBN 4-563-00237-2 C3041 P4429E (L. H. Kauffman, Knots and Physics, World Scientific, ISBN 978-9810241124).
• 鎌田聖一 『曲面結び目理論』"シュプリンガー現代数学シリーズ・第16巻" 丸善出版、2012年 (ISBN 978-4-621-08509-7).

関連項目

• 結び目理論

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タングル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/02 00:02 UTC 版)

「IOTA (暗号通貨)」の記事における「タングル」の解説

IOTAはブロックチェーンを用いる代わりに、DAGを使って分散型台帳を実装している。タングルと呼ばれているIOTAのDAGプロトコルは、ブロックチェーンプロトコルを一般化したものである（ブロックチェーンはDAGの特殊なケースである）。タングルはブロックもチェーンもない構造となっているので、予めブロック時間を決めておく必要がなく、ネットワーク上のトランザクション数が増えると、最終的にトランザクションのスピードが速くなる。しかし、トランザクションが確定されるまでの時間には、タングルのトポロジーやネットワーク内のノードの位置など様々な要因も影響する。タングルはIOTAのトランザクションを保管する公開台帳であると同時に、非中央集権化されていて中央で管理する者は存在せず、メッシュネットワークのトポロジーに従って組織化されるノード間のネットワークによって維持されている。タングルは分散データベースとして機能する。2019年4月現在はネットワーク上の各ノードにはタングルの全履歴が格納されている。IOTAのトランザクションを送るためには、送り手はタングル上の他の二つのトランザクションを承認しなくてはならない。タングルのユニークな承認作業の並列化を可能としているのは、タングルが非同期型システムだからである。これは承認作業が逐次的に順番に行われる同期型のブロックチェーンとは対照的である。IOTAネットワークを使用するための支払いは、（マイニング手数料を支払うのではなく）他の二つのトランザクションの承認という形で行われる。そのために、承認者（ビットコインではマイナー、プルーフ・オブ・ステークプロトコルではステイカーに相当）とトランザクションを送るユーザーはもやは別々の存在ではない。もっと簡単に言えば、IOTAネットワークでは、ユーザー全員がマイナー/ステイカーとなるのである。タングルはバイナリコードではなく三進法でプログラムされている。三進法はバイナリに比べて効率性が有利である。

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「タングル」の例文・使い方・用例・文例

• ７月14日，小澤さんは，タングルウッド音楽祭でボストン交響楽団の音楽監督として最後のコンサートを指揮した。
• 小澤さんとボストン交響楽団の初のコンサートも，1964年のタングルウッド音楽祭で行われた。