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内積

(エルミート内積から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/24 22:16 UTC 版)

線型代数学における内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間とみなされる。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。

脚注

注釈

^ エルミート対称性のもと、第一変数に関する線型性は第二変数に関する共軛線型性から出る。同様に、第二変数に関する共軛線型性は第一変数の線型性から出る。
^ 注意文献によっては、エルミート内積および半双線型形式は第二引数に関して線型、従って第一引数に関して共軛線型とするもの（特に物理学や行列環に関するもの）と、それとは逆に第一引数に関して線型、第二引数に関して共軛線型とするものがある。前者の分野においては、上記の内積 $⟨ x, y ⟩$ を（量子力学におけるブラケット記法で） $⟨ y | x ⟩$ と書いたり、（点乗積を行ベクトル $A$ と列ベクトル $B$ との行列の積 $AB$ と見て） $y † x$ などと書くことも多い。ここでは、ケットベクトルと列ベクトルはベクトル空間 $V$ に属するベクトルと同一視され、ブラベクトルと行ベクトルは双対空間 $V*$ に属する双対ベクトル（つまり線型汎函数）と同一視され、複素共軛は双対性と関連付けられる。また現在ではより抽象的な文脈においてもこの $⟨ x, y ⟩$ が（ $y$ に関してではなく） $x$ に関して共軛線型とする定義を採用するものが時折みられる^[1]。また、いくつかの文献で妥協点として $⟨, ⟩$ と $⟨ | ⟩$ を両方使い、それぞれどちらの引数に関して共軛線型なのかを区別するものとして扱うものがある。