ウィグナーのD行列の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 15:02 UTC 版)
「ウィグナーのD行列」の記事における「ウィグナーのD行列の性質」の解説
D行列の複素共役が満たすさまざまな性質を簡潔にあらわすため、次の演算子 ( x , y , z ) = ( 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle (x,y,z)=(1,2,3)} を導入する。 J ^ 1 = i ( cos α cot β ∂ ∂ α + sin α ∂ ∂ β − cos α sin β ∂ ∂ γ ) J ^ 2 = i ( sin α cot β ∂ ∂ α − cos α ∂ ∂ β − sin α sin β ∂ ∂ γ ) J ^ 3 = − i ∂ ∂ α {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {J}}}_{1}&=i\left(\cos \alpha \cot \beta {\frac {\partial }{\partial \alpha }}+\sin \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\cos \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{2}&=i\left(\sin \alpha \cot \beta {\partial \over \partial \alpha }-\cos \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\sin \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \alpha }\end{aligned}}} これらは量子力学的には空間に固定した剛体回転子の角運動量演算子を意味する。 さらに、次のような演算子を定義する。 P ^ 1 = i ( cos γ sin β ∂ ∂ α − sin γ ∂ ∂ β − cot β cos γ ∂ ∂ γ ) P ^ 2 = i ( − sin γ sin β ∂ ∂ α − cos γ ∂ ∂ β + cot β sin γ ∂ ∂ γ ) P ^ 3 = − i ∂ ∂ γ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {P}}}_{1}&=i\left({\cos \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\sin \gamma {\partial \over \partial \beta }-\cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{2}&=i\left(-{\sin \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\cos \gamma {\partial \over \partial \beta }+\cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \gamma }\end{aligned}}} これは量子力学的には物体に固定した剛体回転子の角運動量演算子を意味する。 これらの演算子は次の交換関係および巡回的に添字を入れ換えた相当する交換関係を満たす。 [ J 1 , J 2 ] = i J 3 , [ P 1 , P 2 ] = − i P 3 {\displaystyle \left[{\mathcal {J}}_{1},{\mathcal {J}}_{2}\right]=i{\mathcal {J}}_{3},\quad \left[{\mathcal {P}}_{1},{\mathcal {P}}_{2}\right]=-i{\mathcal {P}}_{3}} P i {\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}} は anomalous commutation relations[訳語疑問点]（右辺にマイナス符号がつく）を満たしている。 これら二つの組は相互に交換する。 [ P i , J j ] = 0 , i , j = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \left[{\mathcal {P}}_{i},{\mathcal {J}}_{j}\right]=0,\quad i,j=1,2,3,} また、それぞれの二乗和は一致する。 J 2 ≡ J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 = P 2 ≡ P 1 2 + P 2 2 + P 3 2 {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}\equiv {\mathcal {J}}_{1}^{2}+{\mathcal {J}}_{2}^{2}+{\mathcal {J}}_{3}^{2}={\mathcal {P}}^{2}\equiv {\mathcal {P}}_{1}^{2}+{\mathcal {P}}_{2}^{2}+{\mathcal {P}}_{3}^{2}} これを陽に書き下すと以下のようになる。 J 2 = P 2 = − 1 sin 2 β ( ∂ 2 ∂ α 2 + ∂ 2 ∂ γ 2 − 2 cos β ∂ 2 ∂ α ∂ γ ) − ∂ 2 ∂ β 2 − cot β ∂ ∂ β {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}={\mathcal {P}}^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}\beta }}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \gamma ^{2}}}-2\cos \beta {\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \gamma }}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}-\cot \beta {\frac {\partial }{\partial \beta }}} 演算子 J i {\displaystyle {\mathcal {J}}_{i}} はD行列の最初の添字（行）に作用する。 J 3 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = m ′ D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ ( J 1 ± i J 2 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) − m ′ ( m ′ ± 1 ) D m ′ ± 1 , m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&=m'D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\\({\mathcal {J}}_{1}\pm i{\mathcal {J}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&={\sqrt {j(j+1)-m'(m'\pm 1)}}D_{m'\pm 1,m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\end{aligned}}} 演算子 P i {\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}} は行列の2番目の添字（列）に作用する。 P 3 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = m D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=mD_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}} また、 P i {\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}} の満たすanomalous commutation relationのため、昇降演算子は次のように通常とは符号を反転させたかたちで定義される。 ( P 1 ∓ i P 2 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) − m ( m ± 1 ) D m ′ , m ± 1 j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle ({\mathcal {P}}_{1}\mp i{\mathcal {P}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}D_{m',m\pm 1}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}} さらに、以下がなりたつ。 J 2 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = P 2 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\mathcal {P}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}} したがって、ウィグナーのD行列（の複素共役）の行と列は { J i } {\displaystyle \{{\mathcal {J}}_{i}\}} および { − P i } {\displaystyle \{-{\mathcal {P}}_{i}\}} が生成する同型リー代数の既約表現を張る。 R ( α , β , γ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )} と時間反転演算子との交換関係から帰結する、ウィグナーのD行列の重要な性質として、以下がなりたつ。 ⟨ j m ′ | R ( α , β , γ ) | j m ⟩ = ⟨ j m ′ | T † R ( α , β , γ ) T | j m ⟩ = ( − 1 ) m ′ − m ⟨ j , − m ′ | R ( α , β , γ ) | j , − m ⟩ ∗ {\displaystyle \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =\langle jm'|T^{\dagger }{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )T|jm\rangle =(-1)^{m'-m}\langle j,-m'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|j,-m\rangle ^{*}} もしくは D m ′ m j ( α , β , γ ) = ( − 1 ) m ′ − m D − m ′ , − m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=(-1)^{m'-m}D_{-m',-m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}} ここで、Tが反ユニタリ演算子（英語版）であること（したがってT†をケットからブラに移す際に複素共役が出る）、 T | j m ⟩ = ( − 1 ) j − m | j , − m ⟩ {\displaystyle T|jm\rangle =(-1)^{j-m}|j,-m\rangle } 、 ( − 1 ) 2 j − m ′ − m = ( − 1 ) m ′ − m {\displaystyle (-1)^{2j-m'-m}=(-1)^{m'-m}} を用いた。 さらに、対称性から以下がいえる。 ( − 1 ) m ′ − m D m m ′ j ( α , β , γ ) = D m ′ m j ( γ , β , α ) {\displaystyle (-1)^{m'-m}D_{mm'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=D_{m'm}^{j}(\gamma ,\beta ,\alpha )}
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