ウィグナー分布関数の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/22 09:04 UTC 版)
「ウィグナー分布」の記事における「ウィグナー分布関数の性質」の解説
ウィグナー分布関数には、以下のような特徴的性質がある。 Projection property | x ( t ) | 2 = ∫ − ∞ ∞ W x ( t , f ) d f | X ( f ) | 2 = ∫ − ∞ ∞ W x ( t , f ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}|x(t)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\\|X(f)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}} Energy property ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ W x ( t , f ) d f d t = ∫ − ∞ ∞ | x ( t ) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X ( f ) | 2 d f {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df} Recovery property ∫ − ∞ ∞ W x ( t 2 , f ) e i 2 π f t d f = x ( t ) x ∗ ( 0 ) ∫ − ∞ ∞ W x ( t , f 2 ) e i 2 π f t d t = X ( f ) X ∗ ( 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left({\frac {t}{2}},f\right)e^{i2\pi ft}\,df&=x(t)x^{*}(0)\\\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left(t,{\frac {f}{2}}\right)e^{i2\pi ft}\,dt&=X(f)X^{*}(0)\end{aligned}}} Mean condition frequency and mean condition time X ( f ) = | X ( f ) | e i 2 π ψ ( f ) , x ( t ) = | x ( t ) | e i 2 π ϕ ( t ) , if ϕ ′ ( t ) = | x ( t ) | − 2 ∫ − ∞ ∞ f W x ( t , f ) d f and − ψ ′ ( f ) = | X ( f ) | − 2 ∫ − ∞ ∞ t W x ( t , f ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2\pi \psi (f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi \phi (t)},\\{\text{if }}\phi '(t)&=|x(t)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }fW_{x}(t,f)\,df\\{\text{ and }}-\psi '(f)&=|X(f)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }tW_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}} Moment properties ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ t n W x ( t , f ) d t d f = ∫ − ∞ ∞ t n | x ( t ) | 2 d t ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f n W x ( t , f ) d t d f = ∫ − ∞ ∞ f n | X ( f ) | 2 d f {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}|x(t)|^{2}\,dt\\\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}|X(f)|^{2}\,df\end{aligned}}} Real properties W x ∗ ( t , f ) = W x ( t , f ) {\displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)} Region properties If x ( t ) = 0 for t > t 0 then W x ( t , f ) = 0 for t > t 0 If x ( t ) = 0 for t < t 0 then W x ( t , f ) = 0 for t < t 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t>t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t<t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t
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